Analyse-Synthèse

Exercice 2313. Déterminer tous les réels $x$ tels que $\sqrt{x^2}-2x=3$.

Exercice 2314. Montrer que toute fonction $f : \R \to \R$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Exercice 2315. Déterminer toutes les fonctions $f$ définies sur $\R$ et à valeurs réelles, telles que \[ \forall x,y \;\; f(x+y)=f(y)+x \]

Exercice 2316. On souhaite déterminer toutes les fonctions $f : \Q \to \R$ telles que \[ \forall (x,y) \in \Q^2, \;\; f(x+y) = f(x)+f(y) \]

1. Analyse : on suppose qu'il existe une fonction $f$ solution. \\
   1. Calculer $f(0)$. \\
   2. Montrer que pour tout $n \in \Z$, $f(n) = nf(1)$. \\ On commencera par considérer $n \in \N$. \\
   3. En posant $a = f(1)$, montrer que pour tout $x \in \Q$, $f(x) = ax$. \\
2. Synthèse : vérifier que les fonctions linéaires sur $\Q$ sont solutions. \\
3. Conclure.