Séries alternées

Exercice 1990. Nature de la série de terme général $u_n = \Frac{(-1)^n \ln(n)}{n}$, $n \geqslant 1$.
Exercice 1991. Soit $\alpha > 0$. On pose, pour $n \geqslant 1$, \\ \[ u_n = \Sum_{k=n+1}^{+\infty} \Frac{(-1)^k}{k^\alpha}. \] Justifier que la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est bien définie, puis montrer la convergence de la série $\Sum_{n \geqslant 1} u_n$.
Exercice 1992. Nature de $\Sum u_n$ où $u_n=\ln\!\left(\Frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{\sqrt{n}+a}\right)$, avec $a\in\mathbb{R}$.
Exercice 1993. Déterminer la nature de la série de terme général $u_n=\cos\!\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)$.
Exercice 1994.
  1. Déterminer les natures des séries $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n \Frac{2^n}{3^{\sqrt{n}}}$ et $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n \Frac{2^{\ln n}}{3^{\sqrt{n}}}$.
Exercice 1995. Déterminer la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n a_n$, où $a_n = \integrale{\frac{2}{\pi}}{\frac{4}{\pi}}{\Frac{\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)}{n+t}}{t}$.
Exercice 1996. Calculer $\Sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\Frac{(-1)^n}{n}\Bigr).$
Exercice 1997. Déterminer la nature de la série $\Sum a_n$, où $a_n=\Frac{(-1)^n}{n-\ln n}$.
Exercice 1998. On considère une suite récurrente telle que $u_0\in\left]0,\Frac{\pi}{2}\right[$ et telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n\cos(u_n)$.\\ Etudier la suite $(u_n)$, puis les séries de terme général $(-1)^n u_n$ et $\ln(\cos u_n)$.\\ Déterminer la nature de la série $\Sum u_n$.
Exercice 1999. \\
  1. Déterminer la nature de la série de terme général $u_n=\Sum_{k=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^k}{n+1+k}$.\\
  2. Déterminer la nature de la série de terme général $v_n=(-1)^n u_n$.\\