Exercices divers

Exercice 1589. \\
  1. Soit $(G,\cdot)$ un groupe abélien, et $x,y \in G$. On suppose que $x$ est d'ordre $a$, que $y$ est d'ordre $b$, avec $a \wedge b = 1$. Montrer que $xy$ est d'ordre $ab$. \\
  2. Soit $K$ un corps commutatif de cardinal fini $n \geqslant 1$. On note $m$ le ppcm des ordres des éléments de $(K^\ast,\cdot)$. Montrer qu'il existe un élément de $K$ d'ordre $m$.