Nombres premiers

Exercice 1587. \\
  1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. \\
    1. Montrer que si un entier $n$ est congru à $3$ modulo $4$, alors il admet un facteur premier congru à $3$ modulo $4$. \\
    2. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$.
Exercice 1588. Soit $p \geqslant 2$ un nombre premier. \\
  1. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1,p-1 \rrbracket$, on a $p \mid \binom{p}{k}$. \\
  2. En déduire une autre preuve du petit théorème de Fermat : pour tout $n \geqslant 1$, $n^p \equiv n \; [p]$. \\