Nombres premiers

Exercice 2040. \\
  1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. \\
    1. Montrer que si un entier $n$ est congru à $3$ modulo $4$, alors il admet un facteur premier congru à $3$ modulo $4$. \\
    2. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$.
Exercice 2041. Soit $p \geqslant 2$ un nombre premier. \\
  1. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1,p-1 \rrbracket$, on a $p \mid \binom{p}{k}$. \\
  2. En déduire une autre preuve du petit théorème de Fermat : pour tout $n \geqslant 1$, $n^p \equiv n \; [p]$. \\
Exercice 2042. Soit $p$ un nombre premier et $k \in \{1,\ldots,p-1\}$. \\ Montrer que $p$ divise $\displaystyle \binom{p-1}{k} - (-1)^k$.
Exercice 2043. On note $A$ l’ensemble des nombres premiers de la forme $4k-1$, où $k \in \mathbb{N}^*$. \\ Montrer que $A$ est infini.
Exercice 2044. On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers.\\ Pour tout $n \in \Z$ et tout nombre premier $p$, on note $\nu_p(n)$ la valuation $p$-adique de $n$.\\
  1. Soit $a,b,k \in \N^*$.\\ Montrer que si $a^k \mid b^k$, alors $a \mid b$.\\
  2. Soit $n,k \in \N^*$.\\ Montrer que\\ \[ \parenthese{\exists m \in \N^* \;\; n=m^k} \iff \parenthese{\forall p \in \mathcal{P},\;\; \nu_p(n)\equiv 0\;[k] }. \]\\
  3. Soit $m,k,a,b \in \N^*$ tels que $a \wedge b = 1$ et $ab=m^k$.\\ Montrer qu'il existe $c,d \in \N^*$ tels que $a=c^k$ et $b=d^k$.