Exercices divers
Exercice
4893. Soient $n \in \N^*$ et $E$ l'ensemble des matrices $A=(a_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\mathbb{K})$ telles que :\\
\[
\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2,\quad \Bigl(i > j \Rightarrow a_{ij}=0\Bigr)\quad\mathrm{et}\quad \Bigl(i=j \Rightarrow a_{ii}=1\Bigr).
\]
Montrer que $E$ est un groupe multiplicatif
Exercice
4894. On note, pour tout $(a,t)\in \R_+^*\times \R$ :\\
\[
M(a,t)=
\begin{pmatrix}
a\ch t & -a\sh t\\
-a\sh t & a\ch t
\end{pmatrix}.
\]
On pose $G=\{M(a,t)\,;\,(a,t)\in \R_+^*\times \R\}$.\\
Montrer que $G$ est un groupe pour la multiplication
Exercice
4895. Exemple de groupe multiplicatif de matrices carrées d’ordre trois, qui n’est pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$.\\
On note, pour tout $(a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^*$ : $M(a,b)=\begin{pmatrix}1&a&a\\0&b&b\\0&b&b\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_3(\mathbb{R})$.\\
- Montrer que $G$ est un groupe pour la multiplication des matrices carrées. Préciser l’élément neutre.\\
- Est-ce que $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ ?
Exercice
4896. Soient $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et
\[
B=
\begin{pmatrix}
O_n & A\\
I_n & O_n
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_{2n}(K).
\]
- Montrer que $A$ est inversible si, et seulement si, $B$ l’est.\\
- Calculer $B^p$ pour tout $p \in \mathbb{N}$.
Exercice
4897. Soit
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$.
Exercice
4898. On note, pour tout $a\in\R$ :\\
\[
M(a)=
\begin{pmatrix}
1 & a & a\\
a & 1+\Frac{a^2}{2} & \Frac{a^2}{2}\\
-a & -\Frac{a^2}{2} & 1-\Frac{a^2}{2}
\end{pmatrix}\in M_3(\R),
\]
et $G=\{M(a)\,;\,a\in\R\}$.\\
- En notant $I=I_3$ et\\ \[ U= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \] montrer :\\ \[ \forall a\in\R,\qquad M(a)=I+aU+\Frac{a^2}{2}U^2. \]
- Montrer que l'application $M:\R\to G$, $a\mapsto M(a)$ est bijective et que :\\ \[ \forall(a,b)\in\R^2,\qquad M(a+b)=M(a)M(b). \]
- En déduire que $G$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$ pour la multiplication.\\
- Exprimer $(M(a))^k$ pour tout $a\in\R$ et tout $k\in\Z$
Exercice
4899. Soient $K=\R$ ou $\C$,$n\in \N^*$, $A,B\in \mathcal{M}_n(K)$ telles qu'il existe $n+1$ valeurs de $\lambda\in K$ pour lesquelles $A+\lambda B$ est nilpotente. Prouver que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
Exercice
4900. Soient $n \in \N^*$ et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$. Soit $M \in G$ telle que
\[
\mathrm{tr}(M)=n.
\]
Montrer que
\[
M=I_n.
\]
Exercice
4901. Soit $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$ avec $0 \leqslant d \leqslant c \leqslant b \leqslant a$ et $b + c \leqslant a + d$.\\
Pour tout $n \geqslant 2$, on note $M^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$.\\
Démontrer que, pour tout $n \geqslant 2$, $b_n + c_n \leqslant a_n + d_n$.
Exercice
4902. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $A=(a_{ij})_{i,j}\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice bistochastique, c'est-à-dire telle que :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\forall (i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\quad a_{ij}\geqslant 0,\\
\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad \Sum_{j=1}^n a_{ij}=1,\\
\forall j\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad \Sum_{i=1}^n a_{ij}=1
\end{array}
\right.
\]
Soit $X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in M_{n,1}(\mathbb{R})$ telle que :
\[
\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad x_i\geqslant 0.
\]
On note $Y=AX=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in M_{n,1}(\mathbb{R})$.\\
Démontrer :
\[
\Prod_{i=1}^n y_i\geqslant \Prod_{i=1}^n x_i
\]
Exercice 4903. X ENS
On dit qu’une matrice à coefficients réels $A$ est positive, ce qu’on note $A \geqslant 0$, si tous ses coefficients sont positifs ou nuls. On dit que $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est monotone si elle est inversible et si $A^{-1} \geqslant 0$. \\- Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A \geqslant 0$ si et seulement si pour tout vecteur colonne $X$ on a : $X \geqslant 0 \Rightarrow AX \geqslant 0$. \\
- Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est monotone si et seulement si pour tout vecteur colonne $X$ on a : $AX \geqslant 0 \Rightarrow X \geqslant 0$. \\
- Soit $(c_1,\ldots,c_n) \in (\mathbb{R}_+)^n$. Montrer que la matrice \[ \begin{pmatrix} 2+c_1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2+c_2 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & 2+c_{n-1} & -1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 2+c_n \end{pmatrix} \] est monotone. \\
- Déterminer les matrices qui sont à la fois positives et monotones.
Exercice
4904. Soient $A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)$ et
\[
M=
\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_{2n}(K).
\]
On suppose que les matrices $A$, $D$ et $M$ sont inversibles.\\
Exprimer $M^{-1}$.
Exercice
4905. Soit\\
\[
A=\begin{pmatrix}
1&\cdots&\cdots&1\\
0&1&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&1
\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).
\]
- Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Majorer les coefficients de $A^k$.\\
- Calculer $A^{-1}$.\\
- Calculer $(A^{-1})^k$ pour $k \in \mathbb{N}$.