Asymptotes

Exercice 274. Soit $f(x) = \Frac{1}{1+e^{-x}}$. \\ Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Exercice 275. Pour tout réel $k > 0$, on considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ telle que $f_k(x) = kxe^{-kx}$.\\ Déterminer les asymptotes éventuelles de la fonction $f_k$.
Exercice 276. Soit $f$ la fonction $x \mapsto \Frac{ax+b}{2x-1}$ où $a$ et $b$ sont deux réels. $f$ est représentée par la courbe $\Cf$ dans un repère orthogonal. \\
  1. Déterminer $a$ et $b$ tels que $f(0)=0$ et $\limplus f(x) = 2$. \\
  2. Déterminer les asymptotes à $\Cf$. \\
  3. Dresser le tableau de variation de $f$, et tracer l'allure de $\Cf$.
Exercice 277. Montrer que la courbe de la fonction $f(x) = x+e^{-x}$ définie sur $\R$ admet une asymptote.
Exercice 278. Soit la fonction définie sur $\R \backslash \{1\}$ par $f(x) = \Frac{2x+\sin{x}}{x-1}$. \\ Déterminer les limites en $\pm \infty$ et en 1 puis

Exercice 279. Asymptote oblique

\\ Montrer que la droite d'équation $y=x+3$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \Frac{x^2+3x+1}{x}$.

Exercice 280. Asymptote oblique et position relative

\\ Soit $f(x) = \sqrt{4x^2+1}-2x$ définie sur $\R$. \\
  1. Montrer que la droite $d : y = -4x$ est asymptote à $\Cf$. \\
  2. Etudier les positions relatives de $\Cf$ et $d$.

Exercice 281. Asymptote oblique

\\ Soit $f$ définie sur $D = \R \backslash \{1\}$ par $f(x) = \Frac{x^2+1}{x-1}$. \\
  1. Montrer que pour tout $x \in D$, $f(x) = x+1+\Frac{2}{x-1}$. \\
  2. Déterminer la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de $f(x) -(x+1)$. \\
  3. Quelle propriété peut-on en déduire quand à $\Cf$ et la droite $\Delta$ : $y=x+1$ ?

Exercice 282. Asymptote oblique

\\ Soit $g$ la fonction définie sur $D= \R \backslash \{1\}$ par l'expression $g(x) = \Frac{x^2+x-1}{x-1}$.\\ On note $\Cg$ la courbe représentative de $g$. \\
  1. Déterminer les limites de $g$ à gauche et à droite en 1. \\
  2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in D$, $f(x) = ax+b+\Frac{c}{x-1}$. \\
  3. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. \\
  4. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à $\Cg$ en $-\infty$ et $+\infty$.

Exercice 283. Asymptote oblique

\\ Soit $g$ la fonction définie sur $\R^*$ par $g(x) = \Frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$. \\
  1. Quelle est la limite en $+\infty$ de \\
    • la fonction $g$ ? \\
    • la fonction $x \mapsto \Frac{g(x)}{x}$ ? \\
    • la fonction $x \mapsto g(x) - \Frac{x}{2} $ ? \\
  2. En déduire que la courbe $\Cg$ admet une asymptote oblique en $+\infty$. \\ Cette droite est-elle aussi asymptote à $\Cg$ en $- \infty $ ? \\
  3. Etudier la limite de $g$ en $0$.