Relation de divisibilité

Exercice 2021. \\
  1. Montrer que : $\forall n \in \N,\; 7 \mid 3^{2n+1} + 2^{n+2}$.\\
  2. Montrer que : $\forall n \in \N,\; 6 \mid n(n+2)(7n-5)$.\\
  3. Montrer que : $\forall n \in \N,\; 609 \mid 5^{4n} - 2^{4n}$.\\
  4. Trouver tous les entiers $n$ tels que $n-1 \mid n+3$.
Exercice 2022. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $6$ divise $n(n^2 + 5)$.
Exercice 2023. Résoudre l’équation $3x^2 + xy = 11$, où les inconnues $x$ et $y$ sont dans $\mathbb{Z}$.
Exercice 2024. \\
  1. Résoudre l’équation $10x \equiv 14 \ [15]$ dans $\mathbb{Z}$. \\
  2. Résoudre l’équation $10x \equiv 14 \ [18]$ dans $\mathbb{Z}$. \\
  3. Plus généralement, si $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ et $m \in \mathbb{N}^*$, expliquer comment résoudre l’équation $ax \equiv b \ [m]$.
Exercice 2025. Résoudre les systèmes suivants, en l’inconnue $x \in \mathbb{Z}$ : \\ \[ \left\{ \begin{aligned} x &\equiv 1 \ [6] \\ x &\equiv 2 \ [7] \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} 3x &\equiv 2 \ [5] \\ 5x &\equiv 1 \ [6] \end{aligned} \right. \]
Exercice 2026. \\
  1. Soient $a,b,c,d \in \Z$. Montrer que, si $5 \mid a-b$ et $5 \mid c-d$, alors $5 \mid ac-bd$.\\
  2. Soit $n \in \N^*$. Trouver le reste dans la division euclidienne de $\Sum_{k=1}^{n} k$ par $n$.\\
  3. Soit $n \in \N^*$. Justifier qu’un produit de $n$ entiers naturels consécutifs est toujours divisible par $n!$.
Exercice 2027. Soit $n \in \N$ tel que $n \geqslant 2$.\\ On suppose que $n$ n’admet aucun diviseur dans $[2,\sqrt[3]{n}]$.\\ Montrer que $n$ est premier ou produit de deux nombres premiers.
Exercice 2028. \\
  1. Montrer qu’un nombre dont d’écriture décimale est la répétition de deux groupes de $3$ chiffres (comme $314314$) est divisible par $7$, $11$ et $13$.\\
  2. Soit $n \in \N$.\\
    1. Montrer que $n$ est divisible par $3$ ssi la somme de ses chiffres l’est.\\
    2. Même question pour la divisibilité par $9$.

Exercice 2029. Mines MP

\\ Montrer que, si $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à $5$, $24 \mid p^2-1$.

Exercice 2030. Centrale MP

\\ Soient $A$ la somme des chiffres de $4444^{4444}$, $B$ celle de $A$ et $C$ celle de $B$. Que vaut $C$ ?
Exercice 2031. Soit $k \in \N$. L’objectif de l’exercice est de résoudre l’équation d’inconnue $(a,b)\in(\N^*)^2$ : $a^2+b^2=2^k$.\\
  1. Montrer que, si $k \geqslant 2$, alors une solution est forcément un couple de nombres pairs.\\
  2. En déduire que :\\
    1. si $k$ est pair, l’équation n’admet aucune solution ;\\
    2. sinon, l’équation admet une unique solution que l’on déterminera.