Fonctions Lipschitziennes

Exercice 1670. On rappelle que pour tout $x\in\R$, on a $|\sin x|\leqslant |x|$.\\ Montrer que la fonction $x\mapsto \sin x$ est $1$-lipschitzienne.
Exercice 1671. Soit $I \subset \R$, $f : I \to \R$ et $k > 0$. $f$ est dite $k$-lipschitzienne si \[ \forall (x,y) \in I^2, \; \abs{f(x)-f(y)} \leqslant k\abs{x-y} \] Montrer $f'$ est bornée si et seulement si $f$ est lispchitzienne.
Exercice 1672. Soit $f : [a,b] \to \R$ de classe $\C^1$. \\ Montrer que $f$ est lipschitzienne.
Exercice 1673. Soit $f : \R \to \C$ de classe $\C^1$ et périodique. \\ Montrer que $f$ est lipschitzienne.
Exercice 1674. Soit $f:\R\to\R$ une fonction $k$-lipschitzienne (avec $k\in[0,1[$) telle que $f(0)=0$.\\ Soient $a\in\R$ et $(u_n)$ la suite réelle déterminée par\\ $u_0=a$ et $\forall n\in\N,\;u_{n+1}=f(u_n)$.\\ Montrer que $u_n\to 0$.
Exercice 1675. \\
  1. Soient $k>0$ et $f : \R \to \R$ une fonction telle que $\forall x,y \in \R$, $\abs{f(x)-f(y)} \leqslant k\abs{x-y}$. Montrer que $f$ est continue.\\
  2. Montrer que l'application $x \mapsto \sqrt{x}$ définie sur $[0,1]$ est continue mais pas lipschitzienne.
Exercice 1676. Soit I un intervalle de $\R$ et $f : I \to \R$. On dit que $f$ est $\alpha$-hölderienne s’il existe une constante $M > 0$ telle que \\ \[ \forall (x,y) \in I^2,\quad \abs{ f(x) - f(y) } \leqslant M \abs{ x - y }^{\alpha}. \]
  1. On suppose dans cette question que I est un segment. Montrer que si $f$ est de classe $C^{1}$, alors $f$ est $1$-hölderienne. La réciproque est-elle vraie ? \\
  2. Soit $f : I \to \R$ une fonction $\alpha$-hölderienne avec $\alpha > 1$. Montrer que $f$ est constante. \\
  3. Soit $f : ]0,1[ \to \R,\; x \mapsto x \ln x$. Déterminer l’ensemble des $\alpha > 0$ tels que $f$ est $\alpha$-hölderienne.

Exercice 1677. Théorème de Picard

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  1. Soit $f : \R \to \R$ une fonction $K$-lipschitzienne avec $0 \leq K < 1$. On dit alors que $f$ est contractante. On se propose de démontrer que $f$ admet un unique point fixe. \\
    1. On fixe $u_{0} \in \R$ et on considère la suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_{n})$. Montrer : \\ \[ \forall l \geq 2,\quad |u_{l+1}-u_{l}| \leq K^{\,l}|f(u_{1})-f(u_{0})|. \] En déduire que la suite $(u_{n})_{n}$ est de Cauchy. \\
    2. En déduire que $f$ admet un unique point fixe. \\
    3. Soit $g : \R \to \R$ telle qu’il existe $p$ tel que $g^{p}$ (la $p$-composée de $g$) soit contractante. Montrer que $g$ admet un unique point fixe.
Exercice 1678. Soient $f,g : [0,1] \to \R$ continues.\\ On pose \[ \varphi(t)=\sup_{x \in [0,1]} \parenthese{f(x)+t g(x)}. \] Montrer que $\varphi$ est bien définie sur $\R$ et qu'elle y est lipschitzienne.
Exercice 1679. Soit $A$ une partie non vide de $\R$. Pour tout $x \in \R$, on appelle distance de $x$ à $A$ le nombre réel \\ \[ d(x,A) = \inf_{a \in A} \abs{x-a}. \] Montrer que la fonction $x \mapsto d(x,A)$ est continue sur $\R$.
Exercice 1680. Soit $f : I \to \R$ une fonction définie sur l’intervalle $I$. On pose \\ \[ f^{+} = \max(f,0) \quad et \quad f^{-} = \min(f,0). \]
  1. Montrer que $f$ est continue (respectivement bornée) si, et seulement si, $f^{+}$ et $f^{-}$ sont continues (resp. bornées). \\
  2. Montrer que $f$ est $k$-lipschitzienne si, et seulement si, $f^{+}$ et $f^{-}$ sont $k$-lipschitziennes. \\
  3. On suppose que $f$ est dérivable. Les fonctions $f^{+}$ et $f^{-}$ sont-elles dérivables ?
Exercice 1681. Soit A une partie non vide de $\R$.\\ Pour $x$ réel, on pose $f(x)=d(x,A)=\Inf\{\;|y-x|\;;\;y\in A\;\}$.\\ Montrer que $f$ est Lipschitzienne.
Exercice 1682. Posons, pour $x \in ]0,1]$, $f(x)=x^{3/2}\sin\left(\Frac{1}{x}\right)$.\\ Montrer que $f$ est prolongeable en une fonction, que l’on notera encore $f$, dérivable mais non-lipschitzienne sur $[0,1]$.