Fonctions Lipschitziennes

Exercice 1536. Soit $I \subset \R$, $f : I \to \R$ et $k > 0$. $f$ est dite $k$-lipschitzienne si \[ \forall (x,y) \in I^2, \; \abs{f(x)-f(y)} \leqslant k\abs{x-y} \] Montrer $f'$ est bornée si et seulement si $f$ est lispchitzienne.
Exercice 1537. Soit $f : [a,b] \to \R$ de classe $\C^1$. \\ Montrer que $f$ est lipschitzienne.
Exercice 1538. Soit $f : \R \to \C$ de classe $\C^1$ et périodique. \\
  1. Montrer que $f$ est lipschitzienne.
Exercice 1539. \\
  1. Soient $k>0$ et $f : \R \to \R$ une fonction telle que $\forall x,y \in \R$, $\abs{f(x)-f(y)} \leqslant k\abs{x-y}$. Montrer que $f$ est continue.\\
  2. Montrer que l'application $x \mapsto \sqrt{x}$ définie sur $[0,1]$ est continue mais pas lipschitzienne.
Exercice 1540. Soit I un intervalle de $\R$ et $f : I \to \R$. On dit que $f$ est $\alpha$-hölderienne s’il existe une constante $M > 0$ telle que \\ \[ \forall (x,y) \in I^2,\quad \abs{ f(x) - f(y) } \leqslant M \abs{ x - y }^{\alpha}. \]
  1. On suppose dans cette question que I est un segment. Montrer que si $f$ est de classe $C^{1}$, alors $f$ est $1$-hölderienne. La réciproque est-elle vraie ? \\
  2. Soit $f : I \to \R$ une fonction $\alpha$-hölderienne avec $\alpha > 1$. Montrer que $f$ est constante. \\
  3. Soit $f : ]0,1[ \to \R,\; x \mapsto x \ln x$. Déterminer l’ensemble des $\alpha > 0$ tels que $f$ est $\alpha$-hölderienne.

Exercice 1541. Théorème de Picard

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  1. Soit $f : \R \to \R$ une fonction $K$-lipschitzienne avec $0 \leq K < 1$. On dit alors que $f$ est contractante. On se propose de démontrer que $f$ admet un unique point fixe. \\
    1. On fixe $u_{0} \in \R$ et on considère la suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_{n})$. Montrer : \\ \[ \forall l \geq 2,\quad |u_{l+1}-u_{l}| \leq K^{\,l}|f(u_{1})-f(u_{0})|. \] En déduire que la suite $(u_{n})_{n}$ est de Cauchy. \\
    2. En déduire que $f$ admet un unique point fixe. \\
    3. Soit $g : \R \to \R$ telle qu’il existe $p$ tel que $g^{p}$ (la $p$-composée de $g$) soit contractante. Montrer que $g$ admet un unique point fixe.
Exercice 1542. Soient $f,g : [0,1] \to \R$ continues.\\ On pose \[ \varphi(t)=\sup_{x \in [0,1]} \parenthese{f(x)+t g(x)}. \] Montrer que $\varphi$ est bien définie sur $\R$ et qu'elle y est lipschitzienne.