Densité, intervalles

Exercice 1188. Parties convexes de $\R$

\\ On rappelle qu'un ensemble $E$ est convexe si pour tout $x,y \in E$ et pour tout $\lambda \in [0,1]$, $\lambda x + (1-\lambda)y \in E$. \\
  1. Montrer que si $I \subset \R$ est un intervalle, alors $I$ est convexe. \\
  2. Réciproquement soit $I$ une partie convexe de $\R$. Soit $x,y \in I$ tels que $x \leqslant y$ et soit $z \in \R$ tel que $x \leqslant z \leqslant y$. Montrons alors que $z \in I$. \\
    1. Si $x=y$ que dire de $z$ ? \\
    2. Si $x < y$, prouver l'existence de $t \in [0,1]$ tel que $(1-t)x+t y = z$. \\
    3. En déduire que $I$ est un intervalle.
Exercice 1189. Montrer que $A = \{q^2, q\in \Q\}$ est dense dans $\R_+$.

Exercice 1190. Densité de $\Q$ dans $\R$

\\ On va montrer que $\Q$ est dense dans $\R$. \\ Soit $a,b \in \R$ tels que $a < b$. On cherche à prouver l'existence d'un rationnel $r$ entre $a$ et $b$ : \[ a < r < b \]
  1. On suppose que $b-a>1$. Déterminer un $r \in \Q$ qui convient. \\
  2. On suppose maintenant que $b-a<1$. Déterminer $q \in \N^*$ tel que $q(b-a)>1$ puis conclure.
Exercice 1191. Montrer que l'ensemble $\{\cos(\ln(n)) \;;\; n \in \N,\; n \geqslant 2\}$ est dense dans $[-1,1]$.

Exercice 1192. Nombres dyadiques et irrationnels

\\
  1. Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques \[ \left\{ \Frac{k}{2^n} \in \Q, \;\; k \in \Z, \;\; n \in \N \right\} \] est dense dans $\R$. \\
  2. Montrer que l'ensemble des irrationnels $\R \backslash \Q$ est dense dans $\R$.
Exercice 1193. Montrer que $\{\sqrt{m} - \sqrt{n} \;;\; (n,m) \in \N^{2}\}$ est dense dans $\R$.\\
Exercice 1194. Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $I_1,\ldots,I_n$ des intervalles de $\R$ tels que $\bigcup_{k=1}^{n} I_k = I$.\\ Montrer qu’il existe $i\in[1,n]$ tel que $\bigcup_{k\neq i} I_k$ soit un intervalle. Que se passe-t-il si la famille est infinie ?
Exercice 1195. Soit $A$ un sous-ensemble non majoré de $\R_+$. Soit \[ B = \bigcup_{ n \in \N^*} \Frac{1}{n} A \quad avec \quad \Frac{1}{n} A = \left \{ \Frac{a}{n}, \; a \in A \right\} \] Montrer que $B$ est dense dans $\R_+$.
Exercice 1196. Soit $\alpha$ un nombre irrationnel et soit $E=\{a+b\alpha \mid (a,b)\in\Z^2\}$.\\
  1. Soit $\varepsilon=\inf(E\cap\R_{+}^{*})$. Montrer que si $\varepsilon > 0$, alors $E=\Z\varepsilon=\{n\varepsilon \mid n\in\Z\}$.\\
  2. Montrer que $E$ est dense dans $\R$.