Continuité uniforme

Exercice 1476. La fonction $f : \R \longrightarrow \R$ définie par $x \longmapsto \sin(x^2)$ est-elle uniformément continue ?

Exercice 1477. Soit $f$ une application uniformément continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu’il existe $(a,b) \in \R^2$ tel que, pour tout $x \in \R$, $\abs{f(x)} \leq a \abs{x} + b$. -

Exercice 1478. \\

1. Soit $f : \R \to \R$. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R$ si et seulement si pour toutes suites $(x_{n})_{n \in \N}$ et $(y_{n})_{n \in \N}$, si $x_{n} - y_{n} \longrightarrow 0$, alors $f(x_{n}) - f(y_{n}) \longrightarrow 0$. \\
2. Montrer que la fonction $g : x \mapsto \sin(x^{2})$ n’est pas uniformément continue sur $\R$.

Exercice 1479. Soient $a \in \R$, $b \in \overline{\R}$ et $f : [a,b[ \longrightarrow \R$ une fonction continue. \\ On suppose que $f$ admet une limite finie en $b$. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $[a,b[$. \\ Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction continue admettant des limites finies en $- \infty$ et $+ \infty$. \\ Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R$.

Exercice 1480. Soit $f : \R \to \R$ une application continue admettant des limites finies $\ell'$ et $\ell$ en $-\infty$ et en $+\infty$.\\ Montrer que $f$ est uniformément continue.

Exercice 1481. Soit $f : ]0,1] \to \R$ une application uniformément continue.\\

1. Montrer que $f$ est bornée.\\
2. Pour tout $x \in ]0,1]$, on pose $g(x) = \sup_{t \in ]0,x]} f(t)$ et $h(x) = \inf_{t \in ]0,x]} f(t)$. Montrer que $g$ et $h$ possèdent des limites en $0$, notées $\ell^{+}$ et $\ell^{-}$.\\
3. Démontrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$.