Fonctions et intégrales

Exercice 1824. Démontrer que, pour tout $t \in \R_+^*$, on a \[ \arctan t > \Frac{t}{1+t^2}. \]
Exercice 1825. Soit $f : [0;1] \to \R$ continue. On note $M = \sup_{x \in [0;1]} |f(x)|$. \\ Montrer que $\left| \integrale{0}{1}{f(x) + x f(1-x)}{x} \right| \leqslant \Frac{3}{2} M$.
Exercice 1826. Soient $(a,b) \in \R^2$ tels que $a < b$ et $f : [a;b] \to \R$ continue. On suppose qu'il existe $x_1 \in [a;b]$ tel que $f(x_1) > 0$ et que $\integrale{a}{b}{f(t)}{t} = 0$. Montrer qu'il existe $x_2 \in [a;b]$ tel que $f(x_2) < 0$.
Exercice 1827. Soit, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ f(x)=\integrale{0}{\sin^2 x}{\arcsin(\sqrt{t})}{t}+\integrale{0}{\cos^2 x}{\arccos(\sqrt{t})}{t}. \] Montrer que $f$ est constante, puis expliciter $f$.
Exercice 1828. Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que : $\forall t \in [a,b],\; f(a+b-t)=f(t)$. \\
  1. Trouver une relation simple entre $\integrale{a}{b}{t f(t)}{t}$ et $\integrale{a}{b}{f(t)}{t}$. \\
  2. En déduire la valeur de : $\integrale{0}{\pi}{\Frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}}{x}$.

Exercice 1829. CCP PSI

\\
  1. Soient $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que $\forall x \in [a,b]$, $f(x)=f(a+b-x)$. Montrer, en posant $u=a+b-x$, que \[ \integrale{a}{b}{x f(x)}{x}=\Frac{a+b}{2}\integrale{a}{b}{f(x)}{x}. \]
  2. En déduire la valeur de $\integrale{-\pi}{\pi}{\Frac{x\,e^{ix}}{1+\cos^2(x)}}{x}$.
Exercice 1830. Soient $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f \in \mathcal{C}^1([a,b],\R)$ telle que $f(a)=0$ et $\forall x \in [a,b],\;0 \leqslant f'(x) \leqslant 1$.\\ Montrer que $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)^3 \,\mathrm{d}x \leqslant \parenthese{\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x}^2$.
Exercice 1831. Déterminer les fonctions continues sur $\R$ telles que \\ \[ \forall x \in \R,\; \forall a \in \R_{+}^{*},\quad f(x)=\Frac{1}{2a}\integrale{x-a}{x+a}{f(t)}{t} \]
Exercice 1832. Soit $f : \R_{+} \to \R_{+}$ continue telle qu'il existe $k \in \R_{+}$ pour lequel \\ \[ \forall x \in \R_{+}^{*},\quad f(x) \leqslant k \integrale{0}{x}{f(t)}{t} \] \\ Montrer que $f$ est nulle.
Exercice 1833. Soit $k \in \R$ et $f : [0;+\infty[ \to \R$ une application $k$-lipschitzienne. On définit $F : [0;+\infty[ \to \R$ par $F(0) = f(0)$ et, pour $x > 0$, \\ \[ F(x) = \Frac{1}{x} \integrale{0}{x}{f(t)}{t}. \] Montrer que $F$ est $\Frac{k}{2}$-lipschitzienne.
Exercice 1834. Soit $f : [0;1] \to \R$ continue telle que : \[ \forall(x,y) \in [0;1]^2,\;\; x f(y) + y f(x) \leqslant 1\] Montrer que $\integrale{0}{1}{f(x)}{x} \leqslant \Frac{\pi}{4}$.
Exercice 1835. Trouver toutes les applications $f : [0;1] \to \R$ continues telles que \[ \integrale{0}{1}{f(x)}{x} = \Frac{1}{3} + \integrale{0}{1}{\left( f(x^2) \right)^2}{x}. \]
Exercice 1836. Soient $(a,b) \in \R^2$ tels que $a < b$ et $f : [a;b] \to \R$ de classe $C^1$ telle que $f(a) = 0$ et \[ \forall x \in [a;b],\quad 0 \leqslant f'(x) \leqslant 1. \] Montrer que \[ \integrale{a}{b}{\big(f(x)\big)^3}{x} \leqslant \parenthese{\integrale{a}{b}{f(x)}{x}}^2. \]
Exercice 1837. Soient $(a,b) \in \R^2$ tels que $a < b$ et $f : [a;b] \to \R$ de classe $C^1$ telle que $f(a) = 0$. On note $F : [a;b] \to \R$, $x \mapsto F(x) = \integrale{a}{x}{|f'(t)|}{t}$. \\
  1. Montrer que $\forall x \in [a;b],\; |f(x)| \leqslant F(x)$. \\
  2. En déduire que \[ \integrale{a}{b}{|f(x) f'(x)|}{x} \leqslant \Frac{b-a}{2} \integrale{a}{b}{\big(f'(x)\big)^2}{x}. \]
Exercice 1838. Soit $I_n=\integrale{0}{\pi/4}{\tan^n x}{x}$. \\
  1. Calculer $I_0$, $I_1$, $I_n+I_{n+2}$, puis $I_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. \\ Déterminer la limite de $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$. \\
  2. En déduire $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^n}{2n+1}$ et $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{(-1)^n}{n}$.
Exercice 1839. Soient $(a,b) \in \R^2$ tels que $a < b$ et $f : [a;b] \to \R$ continue et $\geqslant 0$. \\ Montrer que \[ \left( \integrale{a}{b}{(f(x))^n}{x} \right)^{1/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \Sup_{x \in [a;b]} f(x). \]

Exercice 1840. Lemme de Riemann-Lebesgues

Soit $f \in C^1([a,b])$. \\ Montrer que $\limn \integrale{a}{b}{\sin(nt)f(t)}{t}=0$ et $\limn \integrale{a}{b}{\cos(nt)f(t)}{t}=0$.
Exercice 1841. Soit $a,b \in \mathbb{N}^\star$. \\ On note, pour $n \geqslant 1$ : \\ \[ P_n=\Frac{1}{n!}X^n(bX-a)^n, \quad I_n=\integrale{0}{\pi}{P_n(x)\sin x}{x}. \]
  1. Montrer que $I_n$ tend vers $0$. \\
  2. Montrer que pour tout $n$, $P_n$ et ses dérivées successives prennent des valeurs entières en $0$ et en $\Frac{a}{b}$. \\
  3. On veut montrer que $\pi$ est irrationnel. \\ On raisonne par l’absurde. \\ On peut alors choisir dans la question précédente $(a,b)$ tels que $\pi=\Frac{a}{b}$. \\ Montrer que pour tout $n$, $I_n$ est entier. \\ En déduire une contradiction.
Exercice 1842. Soit, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^\star\backslash\{1\}$ : $f(x)=\integrale{x}{x^2}{\Frac{1}{\ln t}}{t}$. \\
  1. Existence, dérivabilité, dérivée, variations de $f$. \\
  2. Calculer $\integrale{x}{x^2}{\Frac{1}{t\ln t}}{t}$. \\ En déduire un encadrement, puis les limites en $0$, $1$ et $+\infty$ de $f$. \\
  3. On prolonge $f$ par continuité en $0$ et $1$. \\ Montrer que la fonction obtenue $g$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice 1843. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. \\
  1. Montrer qu'il existe $\theta \in [a,b]$ tel que \[ f(\theta)\cdot \integrale{\theta}{b}{g(t)}{t} = g(\theta)\cdot \integrale{a}{\theta}{f(t)}{t}. \]
Exercice 1844. Soit $f$ une fonction continue et $T$-périodique sur $\R$. \\
  1. Montrer que la fonction $x\mapsto \integrale{x}{x+T}{f(t)}{t}$ est constante. \\
  2. Calculer $\lim_{x\to +\infty}\Frac{1}{x}\integrale{0}{x}{f(t)}{t}$.
Exercice 1845. Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue par morceaux. \\ Montrer que \[ \limn \integrale{0}{1}{f(t)\,e^{int}}{t}=0. \]
Exercice 1846. Soit $f:[1,2]\to[2,3]$ une bijection continue strictement croissante. \\ Montrer que \[ \integrale{1}{2}{f(x)}{x} + \integrale{2}{3}{f^{-1}(y)}{y} =4. \]
Exercice 1847. Soit $f:[0,1]\to\C$ une fonction continue telle que \[ \left|\integrale{0}{1}{f(t)}{t}\right|=\integrale{0}{1}{|f(t)|}{t}. \] Montrer qu'il existe $\theta\in\R$ et $g:[0,1]\to\R_+$ continue tels que \[ \forall t\in[0,1],\quad f(t)=g(t)e^{i\theta}. \]