Fonctions et intégrales

Exercice 1561. Démontrer que, pour tout $t \in \R_+^*$, on a \[ \arctan t > \Frac{t}{1+t^2}. \]
Exercice 1562. Soit $f : [0;1] \to \R$ continue. On note $M = \sup_{x \in [0;1]} |f(x)|$. \\ Montrer que $\left| \integrale{0}{1}{f(x) + x f(1-x)}{x} \right| \leqslant \Frac{3}{2} M$.
Exercice 1563. Soient $(a,b) \in \R^2$ tels que $a < b$ et $f : [a;b] \to \R$ continue. On suppose qu'il existe $x_1 \in [a;b]$ tel que $f(x_1) > 0$ et que $\integrale{a}{b}{f(t)}{t} = 0$. Montrer qu'il existe $x_2 \in [a;b]$ tel que $f(x_2) < 0$.

Exercice 1564. CCP PSI

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  1. Soient $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que $\forall x \in [a,b]$, $f(x)=f(a+b-x)$. Montrer, en posant $u=a+b-x$, que \[ \integrale{a}{b}{x f(x)}{x}=\Frac{a+b}{2}\integrale{a}{b}{f(x)}{x}. \]
  2. En déduire la valeur de $\integrale{-\pi}{\pi}{\Frac{x\,e^{ix}}{1+\cos^2(x)}}{x}$.
Exercice 1565. \\
  1. Soient $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f \in \mathcal{C}^1([a,b],\R)$ telle que $f(a)=0$ et $\forall x \in [a,b],\;0 \leqslant f'(x) \leqslant 1$.\\ Montrer que $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)^3 \,\mathrm{d}x \leqslant \parenthese{\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x}^2$.\\
Exercice 1566. Déterminer les fonctions continues sur $\R$ telles que \\ \[ \forall x \in \R,\; \forall a \in \R_{+}^{*},\quad f(x)=\Frac{1}{2a}\integrale{x-a}{x+a}{f(t)}{t} \]
Exercice 1567. Soit $f : \R_{+} \to \R_{+}$ continue telle qu'il existe $k \in \R_{+}$ pour lequel \\ \[ \forall x \in \R_{+}^{*},\quad f(x) \leqslant k \integrale{0}{x}{f(t)}{t} \] \\ Montrer que $f$ est nulle.
Exercice 1568. Soit $k \in \R$ et $f : [0;+\infty[ \to \R$ une application $k$-lipschitzienne. On définit $F : [0;+\infty[ \to \R$ par $F(0) = f(0)$ et, pour $x > 0$, \\ \[ F(x) = \Frac{1}{x} \integrale{0}{x}{f(t)}{t}. \] Montrer que $F$ est $\Frac{k}{2}$-lipschitzienne.
Exercice 1569. Soit $f : [0;1] \to \R$ continue telle que : \[ \forall(x,y) \in [0;1]^2,\;\; x f(y) + y f(x) \leqslant 1\] Montrer que $\integrale{0}{1}{f(x)}{x} \leqslant \Frac{\pi}{4}$.
Exercice 1570. Trouver toutes les applications $f : [0;1] \to \R$ continues telles que \[ \integrale{0}{1}{f(x)}{x} = \Frac{1}{3} + \integrale{0}{1}{\left( f(x^2) \right)^2}{x}. \]
Exercice 1571. Soient $(a,b) \in \R^2$ tels que $a < b$ et $f : [a;b] \to \R$ de classe $C^1$ telle que $f(a) = 0$ et \[ \forall x \in [a;b],\quad 0 \leqslant f'(x) \leqslant 1. \] Montrer que \[ \integrale{a}{b}{\big(f(x)\big)^3}{x} \leqslant \parenthese{\integrale{a}{b}{f(x)}{x}}^2. \]
Exercice 1572. Soient $(a,b) \in \R^2$ tels que $a < b$ et $f : [a;b] \to \R$ de classe $C^1$ telle que $f(a) = 0$. On note $F : [a;b] \to \R$, $x \mapsto F(x) = \integrale{a}{x}{|f'(t)|}{t}$. \\
  1. Montrer que $\forall x \in [a;b],\; |f(x)| \leqslant F(x)$. \\
  2. En déduire que \[ \integrale{a}{b}{|f(x) f'(x)|}{x} \leqslant \Frac{b-a}{2} \integrale{a}{b}{\big(f'(x)\big)^2}{x}. \]
Exercice 1573. Soient $(a,b) \in \R^2$ tels que $a < b$ et $f : [a;b] \to \R$ continue et $\geqslant 0$. \\ Montrer que \[ \left( \integrale{a}{b}{(f(x))^n}{x} \right)^{1/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \Sup_{x \in [a;b]} f(x). \]