Exercices divers

Exercice 887. Soit $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ deux relations sur $E$. On rappelle que $\mathcal{S}\circ\mathcal{R}$ est la relation définie par :\\ \[ \forall (x,z) \in E^2,\;\; x(\mathcal{S}\circ\mathcal{R})z \Longleftrightarrow \exists y \in E,\;\; (x\mathcal{R}y)\land(y\mathcal{S}z).\\ \]

1. Montrer que si $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont réflexives, alors $\mathcal{S}\circ\mathcal{R}$ aussi.\\
2. 1. Montrer que si $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont symétriques et $\mathcal{S}\circ\mathcal{R}=\mathcal{R}\circ\mathcal{S}$, alors $\mathcal{S}\circ\mathcal{R}$ est symétrique.\\
   2. Donner un exemple où $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont symétriques, et où $\mathcal{S}\circ\mathcal{R}$ ne l’est pas.\\
3. 1. Montrer que si $\mathcal{R}$ est antisymétrique et transitive, alors $\mathcal{R}\circ\mathcal{R}$ est antisymétrique.\\
   2. Donner un exemple où $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont antisymétriques et où $\mathcal{S}\circ\mathcal{R}$ ne l’est pas.\\
4. 1. Montrer que si $\mathcal{R}$ est transitive, alors $\mathcal{R}\circ\mathcal{R}$ l’est aussi.\\
   2. Donner un exemple où $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sont transitives, et où $\mathcal{S}\circ\mathcal{R}$ ne l’est pas.\\
5. Montrer que si $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence ou une relation d’ordre, alors $\mathcal{R}\circ\mathcal{R}=\mathcal{R}$.