Z/nZ

Exercice 872. Définition de $\Z/n\Z$

\\ On note $\bar{x} = \{y \in \Z, \; y \equiv x\modulo{n}\}$ la classe d'équivalence de $x$ pour la relation de congruence modulo $n$. \\
  1. Montrer que si $x \equiv x'\modulo{n}$, alors $\bar{x} = \bar{x}'$. \\
  2. Montrer que l'ensemble $\{\bar{x}, \; x \in \Z\}$ est fini, de cardinal $n$. On note cet ensemble \[ \Z/n\Z \]
Exercice 873. Résoudre dans $\Z/13\Z$ l'équation $x^2+2x+\overline{10}=0$.

Exercice 874. Quelques propriétés de $\Z/n\Z$

\\ On note $\bar{x} = \{y \in \Z, \; y \equiv x\modulo{n}\}$ la classe d'équivalence de $x$ pour la relation de congruence modulo $n$. \\ On définit les lois d'addition et de multiplication sur $\Z/n\Z$ : \[ \forall \bar{x},\bar{y} \in \Z/n\Z, \;\; \bar{x}+\bar{y} = \bar{x+y} \] \[ \forall \bar{x},\bar{y} \in Z/n\Z, \;\; \bar{x}\cdot \bar{y} = \bar{xy} \] Montrer que ces opérations sont bien définies puis qu'elles confèrent à $\Z/n\Z$ une structure d'anneau commutatif.
Exercice 875. Montrer que si $n$ est composé (non premier) alors l'anneau $(\Z/n\Z,+,\codt)$ n'est pas intègre.

Exercice 876. Petit théorème de Fermat

\\
  1. Montrer que l'anneau $(\Z/n\Z,+,\cdot)$ est un corps si et seulement si $n$ est premier. \\ On pourra utiliser l'exercice précédent \\
  2. Montrer le petit théorème de Fermat : soit $a \in \Z$ et $p$ un nombre premier. Montrer que $a^p \equiv a \modulo{p}$.
Exercice 877. Soit $p$ un nombre premier.\\ Résoudre l'équation $x^2 = x$ dans $\Z/p\Z$.\\ Résoudre l'équation $x^2 = x$ dans $\Z/34\Z$.\\ Résoudre l'équation $x^2 = x$ dans $\Z/30\Z$.
Exercice 878. \\
  1. Soient $(G,\cdot)$ et $(G',\cdot)$ deux groupes et $f : G \to G'$ un morphisme de groupes. Soit $x \in G$. Supposons que $x$ est d'ordre fini $n$. Montrer que $f(x)$ est aussi d'ordre fini et que cet ordre divise $n$.\\
  2. Déterminer tous les morphismes de groupes de $\Z / 7\Z$ dans $\Z / 13\Z$, et de $\Z / 3\Z$ dans $\Z / 12\Z$.
Exercice 879. Soit $p$ un nombre premier et $k \in \N^*$ tel que $k \wedge (p-1) = 1$.\\ Montrer que l'application \[ f : \Z/p\Z \to \Z/p\Z \quad x \mapsto x^k \] est une bijection.

Exercice 880. Sous-groupes de $Z/n\Z$ (Hors programme)

\\
  1. Montrer que tout sous-groupe cyclique d'ordre $n$ est isomorphe à $\Z/n\Z$. \\
  2. Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. \\
  3. Montrer que pour $d \mid n$, il existe un unique sous-groupe d'ordre $d$ de $\Z/n\Z$. \\
  4. Donner le cardinal du sous-groupe engendré par $k$ dans $\Z/n\Z$. \\
  5. Montrer que \[ n = \Sum_{d \mid n} \varphi(d) \] où $\varphi(d)$ est l'indicatrice d'Euler, c'est-à-dire le nombre de générateurs de $\Z/d\Z$. \\
  6. Montrer que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique.
Exercice 881. Soit $p$ un nombre premier.\\ Montrer que pour tout $k \in \N$, on a \[ \Sum_{x \in \Z/p\Z} x^k \in \{0,-1\}. \]
Exercice 882. Soit $p \in \N$ avec $p \geqslant 2$.\\ Montrer que $(p-1)! \equiv -1 [p]$ si et seulement si $p$ est premier.