Croissances comparées

Exercice 265. Soit $f(x) = x+1+\Frac{x}{e^x}$. \\ Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
Exercice 266. On considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = xe^{-x}$.\\ Démontrer que $\Cf$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
Exercice 267. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = xe^{x-1}+1$. \\ Déterminer les limites de $f$ sur son domaine de définition et en déduire les asymptotes.
Exercice 268. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{x}{e^x-x}$.\\
  1. Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. \\
  2. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Exercice 269. La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = (3-x^2)e^x$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative. \\ Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
Exercice 270. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = xe^{1-x}$. \\
  1. Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x) = e\times\Frac{x}{e^x}$. \\
  2. Déterminer $\limplus f(x)$ et $\limoins f(x)$. \\
  3. Interpréter les résultats.
Exercice 271. Soit $f(x) = \Frac{e^{-x}}{2(1-x)}$. \\
  1. Etudier les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $1$. Interpréter graphiquement. \\
  2. Vérifier que pour tout $x \in \R \backslash \{0,1\}$, $f(x) = \Frac{e^{-x}}{-x} \times \Frac{x}{2(x-1)}$. \\ En déduire $\limoins f(x)$.
Exercice 272. Soit $h(x) = 2e^{\frac{x}{2}}-x-2$. \\
  1. Déterminer la limite de $h$ en $-\infty$. \\
  2. Vérifier que pour tout réel $x \neq 0$, $h(x) = x\parenthese{\Frac{e^{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}-1-\Frac{2}{x}}$. \\
  3. En déduire la limite de $h$ en $+\infty$.
Exercice 273. Calculer $\limplus \sqrt{x}e^{1-x}$.