Théorèmes de continuité

Exercice 1583. Soit $f$ : $[a,b] \to [a,b]$ continue. Montrer que $\exist x \in [a,b]$ tel que $f(x)=x$.
Exercice 1584. Soient $f : [a,b] \to \R$ continue et $p,q \in \R^{+}$. \\ Montrer qu’il existe $c \in [a,b]$ tel que $p f(a) + q f(b) = (p+q) f(c)$.
Exercice 1585. Soit $f:\R\to\R$ une fonction continue telle qu'il existe $a\in\R$ tel que $f\circ f(a)=a$.\\ Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que $f(c)=c$.
Exercice 1586. Soient $f : I \to \R$ et $g : I \to \R$ deux fonctions continues telles que\\ \[ \forall x \in I,\; \lvert f(x)\rvert=\lvert g(x)\rvert \neq 0 \] Montrer que $f=g$ ou $f=-g$.
Exercice 1587. Soit $f : \R \to \R$ continue. On suppose que $f$ n'a pas de point fixe. Montrer que $f \circ f$ n'a pas de point fixe.
Exercice 1588. Soit $f:\R\to\R$ continue et décroissante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
Exercice 1589. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction continue telle que $\integrale{0}{1}{f(t)}{t} = \Frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice 1590. Soit $f : [a,b] \to \R$ continue.\\
  1. Montrer que si $f([a,b]) \subset [a,b]$ alors $f$ admet un point fixe.\\
  2. Montrer que si $[a,b] \subset f([a,b])$ alors $f$ admet un point fixe.
Exercice 1591. Soit $f : \R \to \R$ continue telle que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.\\ Montrer que $f$ admet un minimum global.
Exercice 1592. Soit $f : \R^+ \to \R$ continue telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$. \\ Montrer que $f$ est bornée.
Exercice 1593. Soit $f$ définie sur $[0,+\infty[$ à valeurs dans $[0,+\infty[$, continue sur $[0,+\infty[$ telle que $\Frac{f(x)}{x}$ a une limite réelle $\ell \in [0,1[$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \\ Montrer que $f$ a un point fixe.
Exercice 1594. Soit $f : [0,1] \to \R$ continue telle que $f(0)=f(1)$.\\ Montrer que pour tout $n \in \N^{*}$, il existe $\alpha \in \left[0,1-\Frac{1}{n}\right]$ tel que\\ \[ f(\alpha + 1/n)=f(\alpha). \]
Exercice 1595. Soit $f : \R \to \R$ une fonction continue et $T$-périodique avec $T > 0$.\\
  1. Montrer que $f$ est bornée.\\
  2. Justifier l’existence de $x \in \R$ tel que \[ f([x , x + T/2]) = \mathrm{Im}\, f \]
Exercice 1596. Déterminer les fonctions continues $f : \R \to \R$ vérifiant : $\forall x \in \R,\; f(x) - f\parenthese{\Frac{x}{2}} = \Frac{x}{2}$.
Exercice 1597. \\
  1. Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue telle que $f\circ f=f$.\\ Soit $E_f=\{x\in[0,1],\;f(x)=x\}$.\\ Montrer que $E_f$ est un intervalle.\\
  2. Décrire les applications $f:[0,1]\to[0,1]$ continues telles que $f\circ f=f$.
Exercice 1598. Soit $f : \R \to \Z$ une fonction continue. Montrer que $f$ est constante.
Exercice 1599. Soit $f : \R^{+*} \longrightarrow \R$ une fonction telle que $x\mapsto f(x)$ est croissante et $x\mapsto \Frac{f(x)}{x}$ est décroissante.\\ Montrer que $f$ est continue.
Exercice 1600. Soit $f : [0,1] \to \R$ une application continue telle que \[ \forall x \in [0,1], \quad f\parenthese{\Frac{x}{2}} + f \parenthese{\Frac{x+1}{2}} = 3f(x) \] Montrer que $f = 0$.
Exercice 1601. Soit $f : \R \to \R$ une fonction périodique, continue et non constante. On se propose de démontrer que $f$ admet une plus petite période, c'est-à-dire qu'il existe $T > 0$ tel que $f$ est $T$-périodique, et pour tout $t < T$, $f$ n'est pas $t$-périodique. On considère l'ensemble des périodes de $f$ : \[ A=\{t>0,\; \forall x \in \R,\; f(x+t)=f(x)\}. \]
  1. Justifier que $A$ admet une borne inférieure. On la note $T$ dans la suite. \\
  2. Montrer que $T>0$. Conclure.

Exercice 1602. Oral Mines-Pont

\\ Soit $f$ une fonction croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$.\\
  1. Montrer que s'il existe $x\in[0,1]$ et $k\in\N^{*}$ tels que $f^{k}(x)=x$ alors $x$ est un point fixe pour $f$.\\
  2. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice 1603. Soit $f$ croissante sur $[a,b]$ telle que $f([a,b]) = [f(a),f(b)]$.\\ Montrer que $f$ est continue sur $[a,b]$.
Exercice 1604. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction continue vérifiant $f(0)=1$ et\\ \[ \forall x\in\R,\quad f(2x)=f(x)\cos x. \] Déterminer $f$.
Exercice 1605. Soit $f:[a,b]\to\R$ continue vérifiant $f(a)=f(b)$.\\ Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que\\ \[ \forall \sigma\in[0,\alpha],\;\exists x\in[a,b-\sigma],\;f(x+\sigma)=f(x). \]
Exercice 1606. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction continue telle que $f(0)=f(1)=0$ et pour tout $x \in \left[0,\Frac{7}{10}\right]$ : \\ \[ f\parenthese{x+\Frac{3}{10}} \ne f(x). \] Montrer que l’équation $f(x)=0$, d’inconnue $x \in [0,1]$, admet au moins $7$ solutions.
Exercice 1607. Soit $g : [a,b] \to \R$ une fonction continue.\\ Soit $X$ l’ensemble des points "invisibles à droite", c’est-à-dire l’ensemble des $x \in ]a,b[$ tels qu’il existe $y \in ]x,b]$ tel que $g(x) < g(y)$.\\ Montrer que $X$ est une réunion dénombrable d’intervalles $]a_n,b_n[_n$.\\ Montrer que :\\ $\forall n,\; a_n \neq a \Rightarrow g(a_n)=g(b_n)$ et $a_n=a \Rightarrow g(a) \leqslant g(b_n)$.