Théorèmes de continuité

Exercice 1435. Soit $f$ : $[a,b] \to [a,b]$ continue. Montrer que $\exist x \in [a,b]$ tel que $f(x)=x$.
Exercice 1436. Soient $f : [a,b] \to \R$ continue et $p,q \in \R^{+}$. \\ Montrer qu’il existe $c \in [a,b]$ tel que \\ \[ p f(a) + q f(b) = (p+q) f(c). \]
Exercice 1437. Soient $f,g : [a,b] \to \R$ continues telles que \\ \[ \forall x \in [a,b],\; f(x) < g(x) \] Montrer qu'il existe $\alpha > 0$ tel que \\ \[ \forall x \in [a,b],\; f(x) \leqslant g(x) - \alpha. \]
Exercice 1438. Soit $f : \R \to \R$ continue telle que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.\\ Montrer que $f$ admet un minimum absolu.
Exercice 1439. Soit $P$ une fonction polynomiale de degré impair. \\ Montrer que $P$ s'annule.
Exercice 1440. Soit $f:\R \to \R$ une fonction continue qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Montrer que $f$ possède un minimum.
Exercice 1441. Soit $A$ une partie non vide de $\R$. Pour tout $x \in \R$, on appelle distance de $x$ à $A$ le nombre réel \\ \[ d(x,A) = \inf_{a \in A} \abs{x-a}. \] Montrer que la fonction $x \mapsto d(x,A)$ est continue sur $\R$.
Exercice 1442. Soit $f : \R \to \R$ continue. On suppose que $f$ n'a pas de point fixe. Montrer que $f \circ f$ n'a pas de point fixe.
Exercice 1443. Soient $f : I \longrightarrow \R$ et $g : I \longrightarrow \R$ deux fonctions continues.\\ Montrer que $\sup(f,g)$ est une fonction continue sur $I$.
Exercice 1444. Soit $f:\R\to\R$ continue et décroissante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
Exercice 1445. Soit $f : [0,1] \to \R$ continue telle que $f(0)=f(1)$.\\ Montrer que pour tout $n \in \N^{\*}$, il existe $\alpha \in [0,1-1/n]$ tel que\\ \[ f(\alpha + 1/n)=f(\alpha). \]
Exercice 1446. Soit f définie sur $[0,+\infty[$ à valeurs dans $[0,+\infty[$, continue sur $[0,+\infty[$ telle que $\Frac{f(x)}{x}$ a une limite réelle $\ell \in [0,1[$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \\ Montrer que $f$ a un point fixe.
Exercice 1447. Soit $P$ un polynôme réel de degré $3$. Montrer que $P$ s'annule sur $\R$.
Exercice 1448. Soit $f : \R \to \R$ une fonction continue et $T$-périodique avec $T > 0$.\\
  1. Montrer que $f$ est bornée.\\
  2. Justifier l’existence de $x \in \R$ tel que \[ f([x , x + T/2]) = \mathrm{Im}\, f \]
Exercice 1449. \\
  1. Soit $f : [a,b] \to \R$ continue.\\ a) Montrer que si $f([a,b]) \subset [a,b]$ alors $f$ admet un point fixe.\\ b) Montrer que si $[a,b] \subset f([a,b])$ alors $f$ admet un point fixe.
Exercice 1450.
  1. Soient $f$ et $g : \R \to \R$ deux fonctions continues telles que $\forall x \in \Q$, $f(x)=g(x)$. Montrer que $f=g$.
Exercice 1451. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue telle que\\ \[ \forall x,y\in\R,\quad f(x+y)=f(x)+f(y). \]
  1. Calculer $f(0)$ et montrer que pour tout $x\in\R$, $f(-x)=-f(x)$.\\
  2. Justifier que pour tout $n\in\Z$ et tout $x\in\R$, $f(nx)=nf(x)$.\\
  3. Établir que pour tout $r\in\Q$, $f(r)=ar$ avec $a=f(1)$.\\
  4. Conclure que pour tout $x\in\R$, $f(x)=ax$.
Exercice 1452. Soit $f : \R \to \Z$ une fonction continue. Montrer que $f$ est constante.
Exercice 1453. Soit $f : I \to \R$ une fonction définie sur l’intervalle $I$. On pose \\ \[ f^{+} = \max(f,0) \quad et \quad f^{-} = \min(f,0). \]
  1. Montrer que $f$ est continue (respectivement bornée) si, et seulement si, $f^{+}$ et $f^{-}$ sont continues (resp. bornées). \\
  2. Montrer que $f$ est $k$-lipschitzienne si, et seulement si, $f^{+}$ et $f^{-}$ sont $k$-lipschitziennes. \\
  3. On suppose que $f$ est dérivable. Les fonctions $f^{+}$ et $f^{-}$ sont-elles dérivables ?
Exercice 1454. Soit $f : \R \to \R$ continue et périodique. \\ Montrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes.
Exercice 1455. Soit $f : \R^+ \to \R$ continue telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$. \\ Montrer que $f$ est bornée.
Exercice 1456. Soit $f : \R \to \R$ décroissante et continue. Montrer que $f$ admet un point fixe et un seul.
Exercice 1457. Soit $f : \R \to \C$ continue et périodique. Montrer que $f$ est bornée.
Exercice 1458. Soit $f$ croissante de $[a,b]$ dans lui--même.\\ Montrer que $f$ a un point fixe.
Exercice 1459. Soit $f : \R^{+*} \longrightarrow \R$ une fonction telle que $x\mapsto f(x)$ est croissante et $x\mapsto \Frac{f(x)}{x}$ est décroissante.\\ Montrer que $f$ est continue.
Exercice 1460. Soit $f : \R \to \R$ une fonction continue et $1$-périodique. Montrer qu’il existe $a \in \R$ tel que $f(\R) = f([a,a+\Frac{1}{2}])$.
Exercice 1461. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ telle que pour tout $x,y\in\R$,\\ \[ f(x+y)=f(x)+f(y). \] On suppose en outre que $f$ est continue en un point $x_0\in\R$.\\ Déterminer la fonction $f$.
Exercice 1462.
  1. Pour $n \in \N^{*}$, montrer que l’équation $\tan \Frac{\pi}{2} x = \Frac{\pi}{2nx}$ admet une unique solution notée $x_{n}$ sur $]0,1[$.\\
  2. Montrer que $x_{n}$ tend vers $0$ en décroissant lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\
  3. Donner un équivalent de $x_{n}$.
Exercice 1463. Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ une application continue telle que $f \circ f = f$. Montrer que l'ensemble des points fixes de $f$ est un segment non vide de $[0,1]$.
Exercice 1464. Soit $f : [0,1] \to \R$ une application continue telle que \[ \forall x \in [0,1], \quad f\parenthese{\Frac{x}{2}} + f \parenthese{\Frac{x+1}{2}} = 3f(x) \] Montrer que $f = 0$.
Exercice 1465. Soit $f : \R \to \R$ continue et $1$-périodique. Montrer que \[ \forall a \in \Rpe, \; \exists c \in \R, \; f(c+a) = f(c) \]
Exercice 1466. Soit $f : \R_+ \to \R_+$ une application continue telle que \[ \lim_{x \to +\infty} \Frac{f(x)}{x} = \ell < 1. \] Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice 1467. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction continue telle que $f(0)=f(1)=0$ et pour tout $x \in \left[0,\Frac{7}{10}\right]$ : \\ \[ f\parenthese{x+\Frac{3}{10}} \ne f(x). \] Montrer que l’équation $f(x)=0$, d’inconnue $x \in [0,1]$, admet au moins $7$ solutions.
Exercice 1468. Soit $f$ croissante sur $[a,b]$ telle que $f([a,b]) = [f(a),f(b)]$.\\ Montrer que $f$ est continue sur $[a,b]$.

Exercice 1469. Oral Mines-Pont

\\ Soit $f$ une fonction croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$.\\
  1. Montrer que s'il existe $x\in[0,1]$ et $k\in\N^{*}$ tels que $f^{k}(x)=x$ alors $x$ est un point fixe pour $f$.\\
  2. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice 1470. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction continue vérifiant $f(0)=1$ et\\ \[ \forall x\in\R,\quad f(2x)=f(x)\cos x. \] Déterminer $f$.
Exercice 1471. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction continue telle que $\integrale{0}{1}{f(t)}{t} = \Frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice 1472. Soit $f : \R \to \R$ telle que $ \forall x,y \in \R,\; f(x+y)=f(x)+f(y)$. \\
  1. On suppose que $f$ est continue sur $\R$. Déterminer $f$. \\
  2. On suppose que $f$ est croissante sur $\R$. Déterminer $f$.
Exercice 1473. Déterminer les fonctions continues $f : \R \to \R$ vérifiant : $\forall x \in \R,\; f(x) - f\parenthese{\Frac{x}{2}} = \Frac{x}{2}$.
Exercice 1474. Soit $f : \R_{+}^{*} \to \R$ une fonction croissante telle que la fonction $x \mapsto \Frac{f(x)}{x}$ est décroissante. Montrer que la fonction $f$ est continue sur $\R_{+}^{*}$.
Exercice 1475. Soit $f : \R \to \R$ une fonction périodique non constante. On se propose de démontrer que $f$ admet une plus petite période, c'est-à-dire qu'il existe $T > 0$ tel que $f$ est $T$-périodique, et pour tout $t < T$, $f$ n'est pas $t$-périodique. On considère l'ensemble des périodes de $f$ : \[ A=\{t>0,\; \forall x \in \R,\; f(x+t)=f(x)\}. \]
  1. Justifier que $A$ admet une borne inférieure. On la note $T$ dans la suite. \\
  2. Montrer que $T>0$. Conclure.