Continuité locale et globale
Exercice
1416. Soit $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = x$ si $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ sinon. \\
Montrer que $f$ est continue en $0$. \\
On pourra distinguer les cas $x \in \Q$ et $x \notin \Q$.
Exercice
1417. Montrer que $f$ définie sur $\R \backslash \{\frac{\pi}{3}\}$ par $f(x) = \Frac{2\cos{x}-1}{x-\frac{\pi}{3}}$ est prolongeable par continuité en $\ps{3}$.
Exercice
1418. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathscr{C}(I,\R)$ et $h : \R \to \R$ définie par $h(x) = \max(f(x),g(x))$.\\
Montrer que $h \in \mathscr{C}(I,\R)$.
Exercice
1419. Étudier la continuité de la fonction $f : \R \longrightarrow \R$ définie par\\
\[
f(x)=[x]+(x-[x])^{2}.
\]
Exercice
1420. Etudier la continuité sur $\R$ de l'application $f : x \mapsto \lfloor x \rfloor + \sqrt{x-\lfloor x \rfloor}$.
Exercice
1421. Étudier la continuité de la fonction définie sur $\R^{+}$ par\\
\[
f(x)=\sup_{n\in\N}\,\Frac{x^{n}}{n!}.
\]
Exercice
1422. Soit $f : \R \to \R$ définie par $f(x) = \sin{\Frac{1}{x}}$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$. \\
Montrer que $f$ n'est pas continue en $0$.
Exercice
1423. Soit $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = x$ si $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ sinon. \\
Pour tout $a \in \R^*$, montrer que $f$ n'est pas continue en $a$. \\
On pourra utiliser le fait que $\Q$ est dense dans $\R$.
Exercice
1424. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ définie par\\
\[
f(x)=
\begin{cases}
1 & si\;x\in\Q,\\
0 & sinon.
\end{cases}
\]
Montrer que $f$ est totalement discontinue.\\
Exercice
1425.
- Trouver une fonction $f : \R \to \R$ qui n'est continue en aucun point.\\
- Trouver une fonction $g : \R \to \R$ qui est continue en $0$ et discontinue partout ailleurs.
Exercice
1426. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue en $0$ telle que\\
\[
\forall x\in\R,\quad f(2x)=f(x).
\]
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Exercice
1427. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction continue en $0$ et en $1$ telle que\\
\[
\forall x\in\R,\quad f(x)=f(x^{2}).
\]
Montrer que $f$ est constante.
Exercice
1428. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue telle que pour tout $x\in\R$,\\
\[
f\parenthese{\Frac{x+1}{2}} = f(x).
\]
Montrer que $f$ est constante.
Exercice
1429. Soit $f : [0,1] \to \R$ telle que $\forall x \in [0,1],\; f(x)=f(x^2)$ avec $f$ continue en $0$ et $1$. Montrer que $f$ est constante.
Exercice
1430. Soient $f : \R \to \R$ bornée et $g : \R \to \R$ continue.\\
Montrer que $g \circ f$ et $f \circ g$ sont bornées.
Exercice
1431. Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls.\\
Déterminer la plus petite période $T > 0$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos(px)+\cos(qx)$.
Exercice
1432. \\
- Montrer que la fonction $f : \R \longrightarrow \R$ définie par \\ \[ f(x)= \begin{cases} [x] & si\;x\in\Q,\\ x & si\;x\in\R\setminus\Q, \end{cases} \] n'admet de limite en aucun point de $\R$. \\
- Étudier la continuité de la fonction $g : [0,1] \longrightarrow [0,1]$ définie par \\ \[ g(x)= \begin{cases} x & si\;x\in\Q,\\ 1-x & si\;x\in\R\setminus\Q. \end{cases} \] En déduire qu'il existe une bijection $h : [0,1] \longrightarrow [0,1]$ qui soit discontinue en tout point de $[0,1]$. \\
Exercice
1433. Soit $f : \R \to \R$ continue. On suppose que chaque $y \in \R$ admet au plus deux antécédents par $f$.\\
Montrer qu’il existe un $y \in \R$ possédant exactement un antécédent.
Exercice
1434. Soient $A$ une partie de $\R$, $a \in A$ et $f : A \to \R$ une fonction. Montrer que $f$ est continue au point $a$ si et seulement si pour toute suite $(a_{n})_{n} \in A^{\N}$ convergeant vers $a$, on a $f(a_{n}) \longrightarrow f(a)$.