Continuité locale et globale
Exercice
1566. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue telle que\\
\[
\forall x,y\in\R,\quad f(x+y)=f(x)+f(y).
\]
- Calculer $f(0)$ et montrer que pour tout $x\in\R$, $f(-x)=-f(x)$.\\
- Justifier que pour tout $n\in\Z$ et tout $x\in\R$, $f(nx)=nf(x)$.\\
- Établir que pour tout $r\in\Q$, $f(r)=ar$ avec $a=f(1)$.\\
- Conclure que pour tout $x\in\R$, $f(x)=ax$.
Exercice
1567. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathscr{C}(I,\R)$ et $h : \R \to \R$ définie par $h(x) = \max(f(x),g(x))$.\\
Montrer que $h \in \mathscr{C}(I,\R)$.
Exercice
1568. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue en $0$ telle que\\
\[
\forall x\in\R,\quad f(2x)=f(x).
\]
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Exercice
1569. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction continue en $0$ et en $1$ telle que\\
\[
\forall x\in\R,\quad f(x)=f(x^{2}).
\]
Montrer que $f$ est constante.
Exercice
1570. Soient $A$ une partie de $\R$, $a \in A$ et $f : A \to \R$ une fonction. Montrer que $f$ est continue au point $a$ si et seulement si pour toute suite $(a_{n})_{n} \in A^{\N}$ convergeant vers $a$, on a $f(a_{n}) \longrightarrow f(a)$.
Exercice
1571. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ définie par\\
\[
f(x)=
\begin{cases}
1 & si\;x\in\Q,\\
0 & sinon.
\end{cases}
\]
Montrer que $f$ est totalement discontinue.\\
Exercice
1572. Soit $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = x$ si $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ sinon. \\
Montrer que $f$ est continue en $0$.
Exercice
1573. Soit $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = x$ si $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ sinon. \\
Pour tout $a \in \R^*$, montrer que $f$ n'est pas continue en $a$.
Exercice
1574. Etudier la continuité sur $\R$ de l'application $f : x \mapsto \lfloor x \rfloor + \sqrt{x-\lfloor x \rfloor}$.
Exercice
1575. Étudier la continuité et les prolongements par continuité éventuels de $f$ définie sur $\mathbb{R}_+^\ast$ par :\\
\[
f(x)=1-x\left\lfloor\Frac{1}{x}\right\rfloor.
\]
Exercice
1576. Étudiez en chaque point de $\R_+^*$ l’existence d’une limite à droite, à gauche, et la continuité de la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^2\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$ et $f(0)=1$.\\
Généralisez à $f_n : x \mapsto x^n\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$.
Exercice
1577. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue telle que pour tout $x\in\R$,\\
\[
f\parenthese{\Frac{x+1}{2}} = f(x).
\]
Montrer que $f$ est constante.
Exercice
1578. Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par
\[
f(x)=\Frac{x}{1+x} \;\; si \;\; x \notin \Q
\qquad et \qquad
f\!\left(\Frac{p}{q}\right)=\Frac{p}{p+q+1} \;\; si \;\; p\wedge q=1.
\]
- Montrer que $f$ est discontinue en tout point rationnel de $\R_+^*$.\\
- On rappelle que si une suite de rationnels $\left(\Frac{p_n}{q_n}\right)$ tend vers un irrationnel, alors la suite $(q_n)$ tend vers $+\infty$.\\ En déduire que $f$ est continue en tout point irrationnel de $\R_+^*$.
Exercice
1579. \\
- Montrer que la fonction $f : \R \longrightarrow \R$ définie par \\ \[ f(x)= \begin{cases} \lfloor x\rfloor & si\;x\in\Q,\\ x & si\;x\in\R\setminus\Q, \end{cases} \] n'admet de limite en aucun point de $\R$. \\
- Étudier la continuité de la fonction $g : [0,1] \longrightarrow [0,1]$ définie par \\ \[ g(x)= \begin{cases} x & si\;x\in\Q,\\ 1-x & si\;x\in\R\setminus\Q. \end{cases} \] En déduire qu'il existe une bijection $h : [0,1] \longrightarrow [0,1]$ qui soit discontinue en tout point de $[0,1]$. \\
Exercice
1580. Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls.\\
Déterminer la plus petite période $T > 0$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos(px)+\cos(qx)$.
Exercice
1581. Étudier la continuité de la fonction définie sur $\R^{+}$ par\\
\[
f(x)=\sup_{n\in\N}\,\Frac{x^{n}}{n!}.
\]
Exercice 1582. Fonction de Thomae
\\ Soit $T : \R \to \R$ la fonction définie par \[ T(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q} & \text{si } x = \dfrac{p}{q} \in \Q, \;\; p \wedge q = 1, \\ 1 & si \;\; x = 0, \\ 0 & si \;\; x \notin \Q. \end{cases} \]- Montrer que $T$ est $1$-périodique. \\
- Montrer que $T$ est discontinue en tout point rationnel. \\
- Montrer que $T$ est continue en tout point irrationnel.