Exercices divers

Exercice 883. Soit $n \geqslant 2$ un entier, $G$ un groupe de cardinal $2n$ et $A$, $B$ deux sous-groupes de $G$ de cardinal $n$ tels que $A \cap B = \{1_G\}$. Montrer que $n \leqslant 2$.
Exercice 884. Soit $\mathbb{K}$ un corps. On pose \[ S = \left\{ \Sum_{i=1}^{n} x_i^2, \; n\in\N^*, \; x_i \in \mathbb{K} \right\} \] Montrer que $S$ est stable par somme, produit et division.
Exercice 885. Soit $f : \R \to \R$. On note $G(f)$ l'ensemble des $T \in \R$ tels que \[ \forall x \in \R, \; f(x+T) = f(x) \]
  1. Montrer que $G(f)$ est un sous groupe de $(\R,+)$. \\
  2. Déterminer $\inf G \cap \rpe$ lorsque : \\
    • $f : x \mapsto \cos\Frac{\pi x}{12} + \sin \Frac{\pi x}{8}$ \\
    • $f : x \mapsto \cos{x} + \sin(\sqrt{2}x)$ \\
  3. L'ensemble des fonctions périodiques sur $\R$ est-il un groupe pour $+$ ?

Exercice 886. Théorème de Lagrange sur les groupes

\\ Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. \\
  1. On définit la relation $\mathcal{R}$ sur $G$ par : $x \mathcal{R} y \iff \exist h \in H, \; x = h \cdot y$. \\ Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $G$. \\
  2. En déduire que chaque classe d'équivalence comporte exactement le même nombre d'éléments que $H$. \\
  3. Montrer que le cardinal de $H$ divise $n$ (théorème de lagrange) \\
  4. Déterminer tous les sous-groupes de $\U_{17}$, pour la loi $\times$.

Exercice 887. Théorème de Lagrange sur les groupes

\\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini, $H$ un sous-groupe de $G$, $\mathcal{R}$ une relation définie dans $G$ par \[ x \mathcal{R} y \iff xy^{-1} \in H \]
  1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence dans $G$. \\
  2. Montrer que les classes d'équivalence modulo $\mathcal{R}$ ont toutes le même cardinal. \\
  3. En déduire $\abs{G} = \abs{H} \times \abs{G \backslash \mathcal{R}}$.
Exercice 888. On note $G$ l'ensemble des applications $f : \Rp \to \Rp$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que \[ f > 0, \quad f(0)=0, \;\; et \;\; \limplus f(x)=+\infty\]
  1. Montrer que $(G, \circ)$ est un groupe. Est-il commutatif ? \\
  2. On note $H$ l'ensemble des $f \in G$ telles que $f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} x$. \\ Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ et que $H \neq G$.

Exercice 889. Crochet de Lie, relation de Jacobi

\\ Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau. Pour $(x,y) \in A^2$, on considère le crochet de Lie défini par\\ \[ [x,y]=xy-yx. \]
  1. Montrer que pour tout $(x,y,z) \in A^3$ :\\ \[ [x,y+z]=[x,y]+[x,z]. \]\\
  2. Pour tout $(x,y,z) \in A^3$, montrer la relation de Jacobi :\\ \[ [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0. \]

Exercice 890. Sous-groupe de $(\R,+)$

\\ Soit $G$ un sous-groupe de $(\R,+)$ non réduit à $0$.\\
  1. Montrer que l’ensemble $G \cap \R_+^*$ admet une borne inférieure (on la note $a$).\\
  2. On suppose, dans cette question, $a > 0$. Montrer que $G = a\Z$.\\
  3. On suppose, dans cette question, $a = 0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$.\\
  4. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que l’ensemble $\Z + \alpha \Z$ est dense dans $\R$.\\
  5. Montrer que l’ensemble des périodes d’une fonction $f : \R \longrightarrow \R$ est un sous-groupe de $\R$. Que dire d’une fonction continue qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour période ?
Exercice 891. Soit $G$ un sous-groupe de $S_n$, groupe des permutations de $[\![1,n]\!]$. On considère la relation $\mathcal{R}$ définie sur $[\![1,n]\!]$ par :\\ \[ a \,\mathcal{R}\, b \;\Longleftrightarrow\; \exists \sigma \in G : \sigma(a)=b. \]
  1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence.\\
  2. Soit $p \leqslant n$ un entier naturel. Montrer que\\ \[ G_p=\{\sigma \in G : \sigma(p)=p\} \] est un sous-groupe de $G$.\\
  3. Soient $p \leqslant n$ et $q \leqslant n$ deux entiers naturels tels qu’il existe $\tau \in G$ avec $\tau(p)=q$. Montrer que $G_p$ et $G_q$ sont isomorphes.
Exercice 892. Sur $\R^2$ on définit une loi $*$ par \[ \forall (x,y),(x',y') \in (\R^2)^2, \;\; (x,y)*(x',y') = \parenthese{x+x',ye^{x'}+y'e^{-x} } \]
  1. Montrer que $(\R^2,*)$ est un groupe non abélien. \\
  2. Trouver toutes les applications $f$ dérivables sur $\R$ telles que $\{(x,f(x)), x \in \R\}$ soit un sous-groupe de $(\R^2,*)$.
Exercice 893. \\
  1. Montrer que pour toute transposition $(a,b)$ de $S_n$, il existe $\sigma \in S_n$ telle que \[ (a\; b) = \sigma^{-1}(1\;2)\sigma. \]
  2. Déterminer tous les morphismes de groupes de $S_n$ dans $\{-1,1\}$.

Exercice 894. Oral X

\\ Soit $G$ un groupe multiplicatif de cardinal $p^{\alpha}$ avec $p$ premier et $\alpha \in \N^*$. \\ Montrer que $Z(G) \neq 1$.

Exercice 895. Oral Centrale

\\ On veut montrer le résultat suivant : si $(G,*)$ est un groupe fini abélien et $p$ un facteur premier de $\mathrm{Card}(G)$, alors il existe un élément d'ordre $p$. \\
  1. Justifier qu'il existe $r \in \N^*$ et $x_1,\hdots,x_r$ dans $G$ tels que \[ G = \langle \{x_1,\hdots,x_r\} \rangle \] la notation $\langle \cdot \rangle$ désigne le sous-groupe engendré par une partie. \\
  2. Conclure en utilisant l'application \[ \varphi : \begin{array}{ccc} \left\langle x_1 \right\rangle \times \cdots \times \left\langle x_r \right\rangle & \longrightarrow & G \\ \\ (x_1^{k_1},\,\ldots,\,x_r^{k_r}) & \longmapsto & x_1^{k_1} \ast \cdots \ast x_r^{k_r} \end{array} \]