Anneaux et corps

1. Soit $a$ une unité de $A$. Montrer que $f(a)$ est une unité de $B$.\\
2. On suppose que $f$ est bijective. Soit $b$ une unité de $B$. Montrer qu’il existe une unité $a$ de $A$ telle que $f(a)=b$.

Exercice 1882. Nilpotence

1. Soit $(a,b) \in A^2$. Montrer que si $a$ est nilpotent et si $ab=ba$ alors $ab$ est nilpotent. \\
2. Soit $a \in A$ nilpotent. Montrer que $1-a$ est inversible dans $A$ et exprimer $(1-a)^{-1}$. \\
3. Soit $(a,b) \in A^2$. Montrer que si $a,b$ sont nilpotents et $ab=ba$ alors $a+b$ est nilpotent.

Exercice 1883. CCP

1. Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau.\\
2. $(E,+,\times)$ est-il un corps ?

Exercice 1884. L’anneau $\Z[j]$

1. Vérifier que $1 + j + j^2 = 0$. \\
2. Soit $A = \{ a + bj : a,b \in \Z \}$. Montrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. \\
3. Montrer que pour tout $x \in A$ on a : $\abs{x}^2 \in \N$. \\
4. Soit $x \in A$. Montrer que $x$ est inversible dans $A$ $\Longleftrightarrow$ $\abs{x}=1$. \\
5. Déterminer l’ensemble $A^\ast$ des éléments inversibles de l’anneau $A$.

Exercice 1885. CCP

1. Quels sont les éléments nilpotents de $A$ si $A$ est un corps ? \\
2. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ tels que $x\cdot y$ est nilpotent. Montrer que $y\cdot x$ est nilpotent. \\
3. On note $1$ l’élément neutre de $A$ pour la multiplication. Soit $x$ un élément nilpotent de $A$. Montrer que $1-x$ est inversible. \\
4. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ nilpotents et qui commutent. Montrer que $x+y$ et $x\cdot y$ sont nilpotents.

Exercice 1886. Anneau $\Z[i]$

1. Montrer que $\Z[i]$ est un sous-anneau de $\C$. \\
2. En considérant le module, déterminer $\Z[i]^*$. \\
3. Le nombre $2$ est-il irréductible dans $\Z[i]$ ?

1. Montrer que l'ensemble $\Q[\sqrt{2}] = \{a+b \sqrt{2} \in \R, \;\; (a,b) \in \Q^2 \}$ est un sous-anneau de $\R$. \\
2. Déterminer $\Q[\sqrt{2}]^*$. \\
3. Montrer que l'application $a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}$ est un automorphisme de corps.

1. Soit $E=\{a+b\sqrt{2} : (a,b) \in \Q^2\}$. Montrer que $(E,+,\times)$ est un corps commutatif.\\
2. Montrer que $F=\{a+ib\sqrt{3} : (a,b) \in \Q^2\}$ est un corps.

1. Montrer que $A_p$ est un sous-anneau de $\Q$ pour les lois usuelles. \\
2. Est-ce que $A_p$ est un sous-corps de $\Q$ pour les lois usuelles ?

1. Montrer que pour tous $z,z'\in\C$, on a $f(z+z')=f(z)+f(z')$ et $f(zz')=f(z)f(z')$.\\
2. En déduire que $C$ est un corps isomorphe à $\C$.

1. On note $c = ab-1$. Montrer que $a-b^{-1}$ est inversible dans $A$ et que $(a-b^{-1})^{-1} = bc^{-1}$. \\
2. On note $d = a^{-1}-(a-b^{-1})^{-1}$. Montrer que $d$ est inversible dans $A$ et que $d^{-1} = -ca$.

1. Montrer que si $f : A \to A'$ est un morphisme d'anneaux, alors $\ker f$ est un idéal de $A$.\\
2. Montrer qu'un morphisme d'anneaux d'un corps $K$ vers un anneau $A \neq \{0\}$ est injectif.

1. L’anneau $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ est-il intègre ?\\
2. Déterminer le groupe de ses inversibles.

Exercice 1897. Idéaux

1. Montrer qu’un corps est intègre. Est-ce qu’un anneau intègre est un corps ? \\
2. Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps. \\
3. Soit $A$ un anneau non nul commutatif. \\
   1. Montrer que $A$ est un corps si et seulement si les seuls idéaux de $A$ sont $A$ et $\{0\}$. \\
   2. On suppose que $A$ est intègre et n’a qu’un nombre fini d’idéaux. Montrer que $A$ est un corps.

1. Soit $A$ un tel anneau. Montrer que $2 \cdot x = 0$ pour tout $x \in A$ et montrer que $A$ est commutatif.\\
2. On définit une addition et une multiplication sur $\Z/2\Z = \{\overline{0},\overline{1}\}$ en posant :\\ $\overline{0}+\overline{0}=\overline{1}+\overline{1}=\overline{0},\quad \overline{0}+\overline{1}=\overline{1}+\overline{0}=\overline{1},\quad \overline{0}\cdot \overline{0}=\overline{0}\cdot \overline{1}=\overline{1}\cdot \overline{0}=\overline{0}\quad \mathrm{et}\quad \overline{1}\cdot \overline{1}=\overline{1}$.\\ Montrer que ces opérations confèrent à $\Z/2\Z$ une structure d’anneau de Boole.\\
3. Soit $E$ un ensemble non vide et $\Delta$ la loi de composition sur $\mathcal{P}(E)$ définie par $A \Delta B = (A \cup B)\backslash(A \cap B)$.\\ Montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ et $((\Z/2\Z)^E,+,\times)$ sont des anneaux de Boole isomorphes.\\
4. Soit $A$ un anneau de Boole intègre, montrer que $A=\{0_A,1_A\}$ est isomorphe à $\Z/2\Z$.

1. Calculer les valeurs possibles de $f(i)$. \\
2. Montrer que $f$ est croissante sur $\R$. \\
3. En déduire $f$.

1. $(\mathbb{Z}/36\mathbb{Z},+,\times)$ est-il un anneau intègre ? Un corps ?\\
2. Résoudre dans $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ l’équation $x^2-31x+18=0$.

Exercice 1905. Idéaux n°2

1. Soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. \\ On dit que l’idéal $I$ est premier si $I\neq A$ et $\forall x,y\in A$, $xy\in I \Rightarrow x\in I \;\text{ou}\; y\in I$. \\
   1. Montrer que $I$ est premier si et seulement si l’anneau quotient $A/I$ est intègre. \\
   2. On suppose que tout idéal de $A$ est premier. Montrer que $A$ est un corps. \\
2. On dit que l’idéal $I$ est maximal si pour tout idéal $J$ tel que $I\subset J$, on a $J=I$ ou $J=A$. Montrer que $I$ est maximal si et seulement si $A/I$ est un corps. \\
3. Quels sont les idéaux premiers de $\Z$ ? Les idéaux maximaux ?

1. Déterminer ces idéaux quand $A=\Z$.\\
2. Ici, $A$ est l'anneau des fonctions continues de $\R$ dans $\R$ muni des lois usuelles. Montrer que \[ I=\{f \in \mathcal{C}^0(\R,\R),\; f(0)=0\} \] est un idéal maximal.

1. Montrer que \[ \mathbb{Z}[i]=\{a+ib\mid (a,b)\in\mathbb{Z}^2\} \] est un anneau. Montrer que pour tout $z \in \mathbb{Z}[i]$, $|z|^2\in\mathbb{N}$, puis déterminer le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}[i]$ par analyse-synthèse.\\
2. Montrer que l’ensemble des décimaux est un anneau. Déterminer le groupe de ses inversibles.\\
3. Montrer que \[ \mathbb{Q}(\sqrt3)=\{a+b\sqrt3\mid (a,b)\in\mathbb{Q}^2\} \] est un corps.

1. Soit $x \in A$. Montrer que $x+x^2=0$, puis montrer que $2x=0$.\\
2. Montrer que $A$ est commutatif.

1. Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents est un sous-groupe de $(A,+)$.\\
2. Montrer qu’un élément nilpotent n’est pas inversible.\\
3. Montrer que si $x$ est nilpotent, alors $1-x$ est inversible.

1. Montrer que $A$ est un anneau pour les lois usuelles sur les matrices.\\
2. Déterminer le groupe des inversibles de $A$.

1. Soit $x \in A$. On pose $xA=\{xa \mid a \in A\}$. Montrer que $xA$ est un idéal de $A$.
2. Montrer que tout idéal de $\mathbb{Z}$ est principal.
3. Soit $I$ un idéal de $\mathbb{Z}^2$. On pose $I_1=\{x \in \mathbb{Z} \mid (x,0) \in I\}$ et $I_2=\{y \in \mathbb{Z} \mid (0,y) \in I\}$.
   1. Montrer que $I=I_1 \times I_2$.
   2. En déduire que $I$ est principal.

1. Soit $f$ un morphisme d’anneaux entre les anneaux $A$ et $B$. Soit $J$ un idéal de $B$. Montrer que $f^{-1}(J)$ est un idéal de $A$.
2. On suppose maintenant que $f$ est surjective. Montrer que pour tout idéal $I$ de $A$, $f(I)$ est un idéal de $B$.
3. Montrer que $A$ est un corps si et seulement si les seuls idéaux de $A$ sont $\{0\}$ et $A$.
4. Montrer que $(a)=\{ab \mid b \in A\}$ pour tout $a \in A$.
5. On suppose que $A$ est intègre. Soient $a,b \in A$. Montrer que $(a)=(b)$ si et seulement s’il existe $u \in A^\times$ tel que $b=au$.

1. Montrer que tout anneau intègre et fini est un corps.\\
2. Trouver tous les sous-corps de $\Q$.\\
3. Existe-t-il un corps $\mathbb{K}$ pour lequel $(\mathbb{K},+)$ est isomorphe à $(\mathbb{K}^*,\times)$ ?

Exercice 1915. Oral Mines-Pont

1. Montrer que $x^2 = x$ pour tout $x \in A$. \\
2. En déduire que $A$ est commutatif.

1. Déterminer tous les morphismes d’anneaux de $\Z$ dans $\Z$, de $\Q$ dans $\Q$, de $\Q$ dans $\Z$ et de $\R$ dans $\Q$.\\
2. Déterminer tous les automorphismes de corps de $\R$, et tous les automorphismes de corps continus de $\C$.

1. Soit $x \in A$ nilpotent. Montrer que $1-x$ est inversible. \\
2. Si $n \in \N^*$ et $x$ nilpotent, simplifier l'expression \[ U_n = \Prod_{k=0}^{n}(1+x^{2^k}) \]

1. Montrer que $\mathcal{A}_n$ est engendré par les cycles de longueur $3$.\\
2. Montrer que $\mathcal{A}_n$ est engendré par les cycles $(1,2,k)$ où $k \in \{3,\ldots,n\}$.

1. Montrer que $C$ est stable par produit. L'est-il par addition ?\\
2. Soit $P \in \R[X]$ un polynôme dont la fonction polynomiale associée est positive sur $\R$. Est-il somme de deux carrés de polynômes à coefficients réels ?

1. On appelle centre de $A$ et on note $Z(A)$ l’ensemble des éléments de $A$ qui commutent avec tout élément de $A$. Montrer que $Z(A)$ est un sous-anneau de $A$.
2. On suppose que $x^3=x$ pour tout $x \in A$.
   1. Montrer que $xy=0_A \Longrightarrow yx=0_A$ pour tout $x,y \in A$.
   2. Soit $x \in A$. On suppose que $x^2=x$. Montrer que $x \in Z(A)$.
   3. Montrer que pour tout $x \in A$, $x^2 \in Z(A)$.
   4. Montrer enfin que $A$ est commutatif.

1. On appelle centre de $A$ et on note $Z(A)$ l’ensemble des éléments de $A$ qui commutent avec tout élément de $A$. Montrer que $Z(A)$ est un sous-anneau de $A$.
2. On suppose que $x^3=x$ pour tout $x \in A$.
   1. Montrer que $xy=0_A \Longrightarrow yx=0_A$ pour tout $x,y \in A$.
   2. Soit $x \in A$. On suppose que $x^2=x$. Montrer que $x \in Z(A)$.
   3. Montrer que pour tout $x \in A$, $x^2 \in Z(A)$.
   4. Montrer enfin que $A$ est commutatif.

1. Justifier que $(x)$ est un idéal de $A$, pour tout $x \in A$.
2. On dit que $A$ est noethérien si pour tout idéal $I$ de $A$, il existe $n \in \mathbb{N}^*$ et $x_1,\dots,x_n \in I$ tels que \[ I=(x_1)+(x_2)+\cdots +(x_n). \]
   1. Donner un exemple d’anneau noethérien.
   2. Montrer que si $A$ est noethérien, alors toute suite croissante pour l’inclusion d’idéaux de $A$ est stationnaire.
   3. Montrer la réciproque.

1. Donner un exemple de dérivation sur un anneau de votre choix.
2. Si $a \in A$, montrer que l’application $\delta_a:x \mapsto ax-xa$ est une dérivation.
3. Déterminer $\delta(0)$ et $\delta(1)$.
4. Calculer $\delta(-a)$ pour tout $a \in A$ et, si $a$ est inversible dans $A$, calculer $\delta(a^{-1})$.
5. On note $D_\delta=\{a \in A \mid \delta(a)=0\}$.
   1. Montrer que $D_\delta$ est un sous-anneau de $A$.
   2. Montrer que si $A$ est un corps, alors $D_\delta$ est un sous-corps de $A$.
6. Pour $a_1,\dots,a_n$ des éléments de $A$, exprimer $\delta\left(\Prod_{k=1}^{n}a_k\right)$ sans produit dans $\delta$.
7. Calculer $\delta(a^n)$ pour tout $a \in A$ et donner le résultat lorsque $A$ est commutatif.
8. On définit $\delta^0=\mathrm{id}_A$, $\delta^1=\delta$ et $\delta^n=\delta \circ \delta^{n-1}$ pour tout $n \geqslant 1$. Démontrer que \[ \forall a,b \in A,\quad \delta^n(ab)=\Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\delta^k(a)\delta^{n-k}(b). \]
9. Donner, dans le cas particulier de la question $1$, les résultats précédents. Quelle formule reconnaît-on ?

1. Montrer que $A$ est un corps.\\
2. Montrer que, pour tout $a \in A$, l'ensemble \[ I_a=\{P \in \R[X],\; P(a)=0\} \] est un idéal engendré par un polynôme irréductible.\\
3. Montrer que $A$ est isomorphe à $\C$.

1. Soit $N$ une valeur absolue. Déterminer $N(1)$ et $N(-1)$.\\
2. Soit $q = \dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q}^*$, où $(a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2$, et $p$ un nombre premier. Montrer que $\nu_p(a) - \nu_p(b)$ ne dépend que de $q$. On le notera $\nu_p(q)$.\\
3. On définit, pour $q \in \mathbb{Q}$, $|q|_p = p^{-\nu_p(q)}$. Montrer que $|\cdot|_p$ est une valeur absolue ultramétrique.\\
4. Soit $N$ une valeur absolue ultramétrique non triviale. Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}_+^*$ et $p$ premier tels que $N = |\cdot|_p^\alpha$.