Anneaux et corps

Exercice 844. Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau. On définit le centre $C$ de $A$ par \[ C = \{x \in A \; ; \; \forall a \in A, \;\; ax=xa \} \] Montrer que $C$ est un sous-anneau de $A$.
Exercice 845. Soit $\varphi : \mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{L}$ un morphisme de corps.\\ Montrer que $\varphi$ est injectif.

Exercice 846. Anneau de Boole

\\ Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau. On suppose que pour tout $x \in A$, $x^2 =x$. \\
  1. Montrer que $\forall x \in A$, $2x=0$. \\
  2. Montrer que $A$ est commutatif.

Exercice 847. Anneau de Boole n°2

\\ Soit $A$ un anneau tel que $x^2=x$ pour tout $x \in A$. \\ Montrer que $A$ est intègre si et seulement si il contient exactement deux éléments.
Exercice 848. Soit $B$ un anneau. On note $\mathrm{Inv}(B)$ l’ensemble des éléments inversibles de $B$.\\ Soient $E$ un ensemble et $A$ un anneau. Montrer que \[ \mathrm{Inv}\!\parenthese{\mathcal{F}(E,A)}=\mathcal{F}(E,\mathrm{Inv}(A)). \]
Exercice 849. Soit $A$ un anneau tel que $x^{3}=x, \quad \forall x \in A$. \\ Montrer que $A$ est commutatif.
Exercice 850. Soit $A$ un anneau unitaire tel que $x^6 = x, \; \forall x \in A$. \\
  1. Montrer que $x^2 = x$ pour tout $x \in A$. \\
  2. En déduire que $A$ est commutatif.
Exercice 851. \\
  1. Montrer que l'ensemble $\Q[\sqrt{2}] = \{a+b \sqrt{2} \in \R, \;\; (a,b) \in \Q^2 \}$ est un sous-anneau de $\R$. \\
  2. Déterminer $\Q[\sqrt{2}]^*$. \\
  3. Montrer que l'application $a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}$ est un automorphisme de corps.
Exercice 852. \\
  1. Soit $E=\{a+b\sqrt{2} : (a,b) \in \Q^2\}$. Montrer que $(E,+,\times)$ est un corps commutatif.\\
  2. Montrer que $F=\{a+ib\sqrt{3} : (a,b) \in \Q^2\}$ est un corps.

Exercice 853. Oral CCP

\\ On considère l’ensemble $E$ défini par $E=\left\{\Frac{p}{q} : p \in \Z,\; q \in \N^*,\; q \;\; impair \;\; \right\}$.\\
  1. Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau.\\
  2. $(E,+,\times)$ est-il un corps ?
Exercice 854. Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $2$. On considère l'ensemble \[ A_p = \{x \in \Q, \; \exist(a,b) \in \Z \times \N^*, \; x = \Frac{a}{b} \;\; et \;\; p \nmid b \} \]
  1. Montrer que $A_p$ est un sous-anneau de $\Q$ pour les lois usuelles. \\
  2. Est-ce que $A_p$ est un sous-corps de $\Q$ pour les lois usuelles ?

Exercice 855. Anneau $\Z[i]$

\\ On pose $\Z[i]= \{a+ib, \;\; (a,b) \in \Z^2 \}$. \\
  1. Montrer que $\Z[i]$ est un sous-anneau de $\C$. \\
  2. En considérant le module, déterminer $\Z[i]^*$. \\
  3. Le nombre $2$ est-il irréductible dans $\Z[i]$ ?

Exercice 856. Oral CCP

\\ Un élément $x$ d’un anneau $A$ est nilpotent lorsqu’il existe $n\in\N^{*}$ tel que $x^{n}=0$. \\
  1. Quels sont les éléments nilpotents de $A$ si $A$ est un corps ? \\
  2. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ tels que $x\cdot y$ est nilpotent. Montrer que $y\cdot x$ est nilpotent. \\
  3. On note $1$ l’élément neutre de $A$ pour la multiplication. Soit $x$ un élément nilpotent de $A$. Montrer que $1-x$ est inversible. \\
  4. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ nilpotents et qui commutent. Montrer que $x+y$ et $x\cdot y$ sont nilpotents.

Exercice 857. Nilpotence

\\ Soit $A$ un anneau. \\
  1. Soit $(a,b) \in A^2$. Montrer que si $a$ est nilpotent et si $ab=ba$ alors $ab$ est nilpotent. \\
  2. Soit $a \in A$ nilpotent. Montrer que $1-a$ est inversible dans $A$ et exprimer $(1-a)^{-1}$. \\
  3. Soit $(a,b) \in A^2$. Montrer que si $a,b$ sont nilpotents et $ab=ba$ alors $a+b$ est nilpotent.
Exercice 858. Soit $A$ un anneau et $(a,b) \in A^2$. On note $1$ le neutre de la deuxième loi de $A$. On suppose que $a,b,ab-1$ sont inversibles dans $A$. \\
  1. On note $c = ab-1$. Montrer que $a-b^{-1}$ est inversible dans $A$ et que $(a-b^{-1})^{-1} = bc^{-1}$. \\
  2. On note $d = a^{-1}-(a-b^{-1})^{-1}$. Montrer que $d$ est inversible dans $A$ et que $d^{-1} = -ca$.

Exercice 859. L’anneau $\Z[j]$

\\ On note $j$ le nombre complexe $j = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\Frac12 + i \Frac{\sqrt3}{2}$. \\
  1. Vérifier que $1 + j + j^2 = 0$. \\
  2. Soit $A = \{ a + bj : a,b \in \Z \}$. Montrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. \\
  3. Montrer que pour tout $x \in A$ on a : $\abs{x}^2 \in \N$. \\
  4. Soit $x \in A$. Montrer que $x$ est inversible dans $A$ $\Longleftrightarrow$ $\abs{x}=1$. \\
  5. Déterminer l’ensemble $A^\ast$ des éléments inversibles de l’anneau $A$.
Exercice 860. Soit $f : \C \to \C$ un morphisme de corps tel que $f(\R) \subset \R$. \\
  1. Calculer les valeurs possibles de $f(i)$. \\
  2. Montrer que $f$ est croissante sur $\R$. \\
  3. En déduire $f$.
Exercice 861. Soit $K$ un anneau commutatif fini. Montrer que $K$ est un corps si, et seulement si, il possède un seul élément nilpotent et exactement deux éléments idempotents (c’est-à-dire tels que $a^2=a$).
Exercice 862. Soit $A$ un anneau commutatif. On note $N$ l’ensemble des éléments nilpotents de $A$ et $B=\{\,1+x, \;\; x\in N\,\}$. \\ Montrer que $(B,\times)$ est un groupe.
Exercice 863. Soit $A$ un anneau et $(a,b) \in A^2$. On suppose que $ab$ est inversible à droite et on suppose que $ba$ n'est pas diviseur de zéro à gauche. Montrer que $a$ est inversible dans $A$.
Exercice 864. Soit $(\mathbb{K},+,\times)$ un corps fini. On note $\mathbb{K} \setminus \{0\}$ par $\mathbb{K}^*$.\\ Calculer $ \Prod_{x \in \mathbb{K}^*} x$.
Exercice 865. Montrer que tout anneau intègre fini est un corps. \\ La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 866. \\
  1. Montrer que tout anneau intègre et fini est un corps.\\
  2. Trouver tous les sous-corps de $\Q$.\\
  3. Existe-t-il un corps $\mathbb{K}$ pour lequel $(\mathbb{K},+)$ est isomorphe à $(\mathbb{K}^*,\times)$ ?
Exercice 867. Soit $A$ un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la loi $\cdot$ est noté $1$. \\
  1. Soit $x \in A$ nilpotent. Montrer que $1-x$ est inversible. \\
  2. Si $n \in \N^*$ et $x$ nilpotent, simplifier l'expression \[ U_n = \Prod_{k=0}^{n}(1+x^{2^k}) \]

Exercice 868. Idéaux

\\
  1. Montrer qu’un corps est intègre. Est-ce qu’un anneau intègre est un corps ? \\
  2. Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps. \\
  3. Soit $A$ un anneau non nul commutatif. \\
    1. Montrer que $A$ est un corps si et seulement si les seuls idéaux de $A$ sont $A$ et $\{0\}$. \\
    2. On suppose que $A$ est intègre et n’a qu’un nombre fini d’idéaux. Montrer que $A$ est un corps.

Exercice 869. Idéaux n°2

\\
  1. Soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. \\ On dit que l’idéal $I$ est premier si $I\neq A$ et $\forall x,y\in A$, $xy\in I \Rightarrow x\in I \;\text{ou}\; y\in I$. \\
    1. Montrer que $I$ est premier si et seulement si l’anneau quotient $A/I$ est intègre. \\
    2. On suppose que tout idéal de $A$ est premier. Montrer que $A$ est un corps. \\
  2. On dit que l’idéal $I$ est maximal si pour tout idéal $J$ tel que $I\subset J$, on a $J=I$ ou $J=A$. Montrer que $I$ est maximal si et seulement si $A/I$ est un corps. \\
  3. Quels sont les idéaux premiers de $\Z$ ? Les idéaux maximaux ?

Exercice 870. Oral Mines-Pont

\\ Soit $(A,+,\times)$ un anneau intègre. \\ Montrer que toute partie finie non vide $\mathscr{P}$ de $A \backslash \{0_A\}$ stable par multiplication est un sous-groupe du groupe multiplicatif $A^{\times}$ des éléments inversibles de $A$.
Exercice 871. Soit $n \geqslant 3$. On note $\mathcal{A}_n$ l'ensemble des permutations de $S_n$ dont la signature vaut $1$.\\
  1. Montrer que $\mathcal{A}_n$ est engendré par les cycles de longueur $3$.\\
  2. Montrer que $\mathcal{A}_n$ est engendré par les cycles $(1,2,k)$ où $k \in \{3,\ldots,n\}$.