Morphismes de groupes

Exercice 827. Automorphisme interieur

\\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Pour $a \in G$, on note $\tau_a : G \to G$ l'application définie par \[ \tau_a(x) = axa^{-1} \]
  1. Montrer que $\tau_a$ est un automorphisme de $G$, qu'on appelle automorphisme intérieur associé à $a$. \\
  2. Montrer que $\forall (a,b) \in G^2$, $\tau_a \circ \tau_b = \tau_{ab}$.
Exercice 828. \\
  1. Montrer que l’application $f : \C^* \longrightarrow \R_+^*$ définie par $z \longmapsto |z|$ est un morphisme de groupe multiplicatif. Déterminer son noyau et son image.\\
  2. Montrer que l’application $\exp : (\C,+) \longrightarrow (\C^*,\times)$ est un morphisme de groupe. Déterminer son noyau et son image.
Exercice 829. Montrer qu'un morphisme de groupe $f : G \to G'$ est injective si et seulement si $\ker f = \{e\}$.

Exercice 830. Groupe produit

\\ Soient $H$ et $K$ deux groupes multiplicatifs.\\
  1. Montrer que $H \times K$ muni de la loi $\perp$ définie par\\ \[ \forall (x_1,x_2) \in H^2, \;\forall (y_1,y_2) \in K^2, \quad (x_1,y_1)\perp(x_2,y_2) = (x_1 \cdot x_2, y_1 \cdot y_2) \] est un groupe.\\
  2. Montrer que $H \times \{0\}$ et $\{0\} \times K$ sont des sous-groupes de $H \times K$ isomorphes à $H$ et $K$.

Exercice 831. Sous-groupe distingué

\\ Un sous-groupe $H$ de $G$ est dit distingué ou normal si pour tout $h \in H$ et tout $g \in G$, on a $ghg^{-1} \in H$. On note alors $H \trianglelefteq G$. \\
  1. Montrer que si $f : G \to G'$ est un morphisme de groupe, alors $\ker f$ est un sous-groupe distingué. \\
  2. Soit $G$ un groupe et $H \trianglelefteq G$ un sous-groupe distingué. Montrer que les classes à gauche et à droite modulo $H$ coïncides : $xH = Hx$ pour tout $x \in G$. Montrer réciproquement que si les classes à gauche et à droite coïncides, alors $H$ est distingué.

Exercice 832. Oral Mines-Pont

\\
  1. On considère deux entiers $a$ et $b$, et on définit une application $f : \Z^{2}\longrightarrow\Z$ par \\ \[ f(x,y)=ax+by. \] Montrer que $f$ est un morphisme de groupes. \\
  2. Déterminer $\ker(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$.
Exercice 833. Déterminer tous les morphismes de $(\Z,+)$ dans lui-même. Lesquels sont injectifs ? Lesquels sont surjectifs ?
Exercice 834. \\
  1. Montrer que les groupes $(\R^*,\times)$ et $(\C^*, \times)$ ne sont pas isomorphes. \\
  2. Montrer que les groupes $(\Q,+)$ et $(\Q^*_+, \times)$ ne sont pas isomorphes.
Exercice 835. Montrer que les groupes $(\Z,+)$ et $(\Z^2,+)$ ne sont pas isomorphes.
Exercice 836. Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $E$ un ensemble. Soit $f : E \to G$ une application bijective de bijection réciproque $f^{-1}$. On note $*$ la loi interne dans $E$ définie par \[ \forall x,y \in E, \;\; x * y = f^{-1}(f(x)f(y)) \]
  1. Montrer que $(E,*)$ est un groupe et que $f$ est un isomorphisme de $(E,*)$ dans $(G,\cdot)$. \\
  2. Exemple : soit $*$ la loi interne définie dans $\R$ par \[ \forall x,y \in \R, \;\; x * y = \sqrt[3]{x^3+y^3} \] Montrer que $(\R,*)$ est un groupe, isomorphe à $(\R,+)$.
Exercice 837. Soit $\varphi : G_1 \longrightarrow G_2$ un morphisme entre un groupe fini $G_1$ et un groupe $G_2$.\\ Montrer que $\mathrm{Card}(G_1)=\mathrm{Card}(\ker(\varphi)) \times \mathrm{Card}(\mathrm{Im}(\varphi))$.

Exercice 838. Oral ENS

\\ Déterminer tous les morphismes de groupes de $(\Q,+)$ dans $(\Z,+)$.
Exercice 839. $p$ et $q$ sont deux entiers non nuls premiers entre eux. On pose $n=pq$.\\ Soit $G$ un groupe fini commutatif d’élément neutre $e$ tel que, pour tout $x\in G$, $x^{n}=e$.\\ On définit \[ M=\{x\in G\;;\;x^{p}=e\},\qquad N=\{x\in G\;;\;x^{q}=e\}. \]
  1. Montrer que $M$ et $N$ sont des sous-groupes de $G$.\\
  2. Montrer que $M\cap N=\{e\}$.\\
  3. Montrer que l’application $f:M\times N\to G$, $(x,y)\mapsto xy$, est un isomorphisme de groupes.
Exercice 840. Soit $n$ un entier naturel non nul, on note $U_n$ le groupe des racines $n$-ièmes de l’unité dans $\C$. Pour $k \in [0,n-1]$, on pose $\omega = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ et on considère l’application\\ \[ \varphi : \Z \longrightarrow U_n,\qquad m \longmapsto \omega^m. \]
  1. Montrer que $\varphi$ est un morphisme du groupe $(\Z,+)$ dans $(U_n,\times)$. Déterminer $\ker(\varphi)$ et $\mathrm{Im}(\varphi)$.\\
  2. On dit qu’une racine $n$-ième de l’unité $\omega$ est primitive si $U_n$ est égal à l’ensemble des puissances de $\omega$. Donner une description des racines primitives, et en donner la liste pour $n=6$, $n=7$ et $n=12$.\\
  3. Montrer qu’une racine est primitive si, et seulement si, sa conjuguée l’est aussi.\\
  4. Donner une interprétation géométrique du fait que $e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ est une racine primitive.
Exercice 841. Soient $G$ un groupe fini et $f : G \to G$ un morphisme de groupes.\\ On suppose que \[ \Card\{x \in G \;;\; f(x) = x^{-1}\} > \Frac{\Card(G)}{2}. \] Montrer que $f$ est involutif, c'est\;à\;dire que $f \circ f = \mathrm{id}_G$.
Exercice 842. Soient $G$ un groupe fini et $\varphi : G \to \C^{*}$ un morphisme de groupes. Calculer $\Sum_{x \in G} \varphi(x)$.

Exercice 843. Oral ENS

\\ Soit $G$ un groupe fini et $f$ un morphisme de $G$ dans $G$. Montrer que \[ \ker f = \ker f^2 \iff \mathrm{Im}\,f = \mathrm{Im}\,f^2 \]