Groupes et sous groupes

Exercice 1761. Soit $(G,\cdot)$ un groupe. \\
  1. Montrer que si $\forall x \in G$, $x^2=e$, alors $G$ est abélien. \\
  2. Montrer que si $\forall (x,y) \in G^2$, $(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2$, alors $G$ est abélien. \\
  3. On suppose qu'il existe $n \in \N^*$ tel que $\forall (x,y) \in G^2$, $(x\cdot y)^n = y \cdot x$. Montrer que $G$ est abélien.

Exercice 1762. Stabilisateur

\\ Soient $x$ un élément d’un ensemble $X$, et $(G,\circ)$ le groupe des bijections de $X$. On appelle stabilisateur de $x$ l’ensemble\\ \[ S_x=\{g \in G : g(x)=x\}. \] Montrer que $S_x$ est un sous-groupe de $G$.
Exercice 1763. Soit $(G, \cdot)$ un groupe, $e$ son élément neutre, et $a,b \in G$ tels que \[ ba = ab^2 \quad et \quad ab =ba^2 \] Montrer que $a=b=e$.
Exercice 1764. Sur $]-1,1[$ on définit une loi $*$ par \[ \forall (x,y) \in (]-1,1[)^2, \;\; x*y = \Frac{x+y}{1+xy} \] Montrer que $(]-1,1[,*)$ est un groupe commutatif.
Exercice 1765. Soient $\omega\in\C$ et \[ H=\{a+\omega b\mid a,b\in\Z\}. \] Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(\C,+)$.
Exercice 1766. On considère les applications de \[ E=\R\setminus\{0,1\} \] dans lui-même définies par \[ i(x)=x,\qquad f(x)=1-x,\qquad g(x)=\Frac{1}{x},\qquad h(x)=\Frac{x}{x-1},\qquad k(x)=\Frac{x-1}{x},\qquad \ell(x)=\Frac{1}{1-x}. \]
  1. Montrer que ce sont des permutations de $E$.\\
  2. Construire la table de composition de \[ G=\{i,f,g,h,k,\ell\}. \]
  3. Montrer que $G$ muni de la composition est un groupe non commutatif.
Exercice 1767. Soit $a\in\C^*$ et \[ H=\{a^n\mid n\in\Z\}. \] Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(\C^*,\times)$.
Exercice 1768. Soit $a$ un élément d’un ensemble $E$.\\ On pose \[ H=\{f\in\mathfrak{S}_E\mid f(a)=a\}. \] Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(\mathfrak{S}_E,\circ)$.
Exercice 1769. Soit $(G,+)$ un groupe commutatif additif.\\ Soit $x \in G$ et $n \in \mathbb{Z}$. Montrer que : $(n+1)\cdot x = n \cdot x + x$ et $(n-1)\cdot x = n \cdot x - x$.
Exercice 1770. Soit $G$ un groupe multiplicatif de neutre noté $e$. Soit $a,b \in G$ et soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $(ab)^n=e \Rightarrow (ba)^n=e$.
Exercice 1771. Soit $p \in \mathbb{N}^\ast$ fixé. Montrer que \[ \left\{ e^{\frac{2ik\pi}{p^n}} \quad tq \quad (k,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N} \right\} \] est un sous-groupe de $\mathbb{C}^\ast$.
Exercice 1772. Montrer que \[ \left\{ z \in \mathbb{C} \quad tq \quad \exists n \in \mathbb{N}^\ast,\ z^n=1 \right\} \] est un sous-groupe de $\mathbb{C}^\ast$.
Exercice 1773. Soit $E$ un ensemble à au moins $3$ éléments. Montrer que $S_E$ n’est pas commutatif.
Exercice 1774. Les ensembles suivants sont-ils des groupes ? Justifier.\\
  1. L’ensemble des suites tendant vers $0$ muni de l’addition.
  2. L’ensemble des nombres complexes d’argument $\frac{\pi}{4}$ muni de la multiplication.
  3. L’ensemble des fonctions périodiques de période entière définies sur $\mathbb{R}$ muni de la composition.
Exercice 1775. Soit $X$ un ensemble et $A \subset X$.\\ On pose \[ H=\{f \in S_X \mid \forall a \in A,\ f(a)=a\}. \] Montrer que $H$ est un sous-groupe de $S_X$.
Exercice 1776. Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe $(G,\ast)$ tels que \[ H\cup K \] soit encore un sous-groupe de $G$.\\ Montrer que $H\subset K$ ou $K\subset H$.
Exercice 1777. Pour $a\in\N$, on note \[ a\Z=\{ak\mid k\in\Z\}. \]
  1. Montrer que $a\Z$ est un sous-groupe de $(\Z,+)$.\\
  2. Montrer que réciproquement tout sous-groupe de $(\Z,+)$ est de cette forme.
Exercice 1778. Pour $a\in\C^*$ et $b\in\C$, on définit \[ f_{a,b}:\C\to\C,\qquad f_{a,b}(z)=az+b. \] Montrer que \[ \{f_{a,b}\mid a\in\C^*,\;b\in\C\} \] muni de la composition est un groupe.
Exercice 1779. Soit $(G,\times)$ un groupe, $H$ un sous-groupe de $G$ et $a\in G$.\\
  1. Montrer que \[ aHa^{-1}=\{axa^{-1}\mid x\in H\} \] est un sous-groupe de $G$.\\
  2. À quelle condition simple \[ aH=\{ax\mid x\in H\} \] est-il un sous-groupe de $G$ ?
Exercice 1780. Soit $G$ un groupe, et $H \subsetneq G$ un sous-groupe de $G$. Montrer que le groupe engendré par $G \setminus H$ est $G$ tout entier.
Exercice 1781. Soit $G$ un groupe multiplicatif et $H$ une partie finie non vide de $G$, telle que pour tous $x,y \in H$, $xy \in H$.\\ Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$.
Exercice 1782. Soit $(G,+)$ un groupe commutatif additif d'élément neutre noté $0$ avec l'application \[ \left\{ \begin{array}{ccc} \mathbb{Z}\times G & \to & G\\ (n,x) & \mapsto & n\cdot x \end{array} \right. \] On se donne $x,y \in G$ et $n,p \in \mathbb{Z}$. Montrer que :\\
  1. $1\cdot x = x$\\
  2. $(n+p)\cdot x = n\cdot x + p\cdot x$\\
  3. $n\cdot(x+y) = n\cdot x + n\cdot y$\\
  4. $n\cdot(p\cdot x) = (np)\cdot x$\\
On dit que ces propriétés confèrent à $G$ une structure de $\mathbb{Z}$-module.
Exercice 1783. Vérifier que $(x,y) \mapsto \max(x,y)$ est une loi de composition commutative et associative sur $\mathbb{N}$. Admet-elle un élément neutre ? Quels sont les éléments inversibles ? Quels sont les sous-monoïdes de $\mathbb{N}$ ?
Exercice 1784. Soit $G$ un groupe abélien fini de cardinal $n \in \N^*$. Soit $x \in G$. Montrer que $x^n=e$.
Exercice 1785. Vérifier que $(x,y) \mapsto \max(x,y)$ est une loi de composition commutative et associative sur $\mathbb{N}$. Admet-elle un élément neutre ? Quels sont les éléments inversibles ? Quels sont les sous-monoïdes de $\mathbb{N}$ ?
Exercice 1786. Soit un groupe $(G,\ast)$ de neutre $e$. L'inverse de $x$ est noté $x^{-1}$. \\ Soit $a \in G$ un élément fixé. \\ On définit une loi $T$ sur $G$ par : $\forall x,y \in G \;\; xTy = x \ast a \ast y$. \\ Montrer que $(G,T)$ est un groupe. On notera $e'$ le neutre de $G$ et $x'$ l'inverse de $x$ pour la loi $T$.

Exercice 1787. Intersection et union de sous-groupe

\\ Soient $G_1$ et $G_2$ deux sous-groupes d’un groupe $(G,\perp)$.\\
  1. Montrer que $G_1 \cap G_2$ est un sous-groupe de $G$.\\
  2. Montrer que $G_1 \cup G_2$ est sous-groupe de $G$ $\iff$ $G_1 \subset G_2$ ou $G_2 \subset G_1$.
Exercice 1788. Soient $A$ et $B$ deux parties d'un groupe fini $(G,\ast)$ telles que \[ \mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)>\mathrm{card}(G). \] Montrer que \[ \forall g \in G,\quad \exists (a,b)\in A \times B,\quad g=a \ast b. \]
Exercice 1789. Soit $(G,\times)$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$.\\ On définit une relation binaire $R$ sur $G$ par \[ xRy \Longleftrightarrow xy^{-1}\in H. \] Montrer que $R$ est une relation d'équivalence et en décrire les classes d'équivalence.
Exercice 1790. On pose pour tous $(x, y),(x', y') \in \mathbb{R}^\ast \times \mathbb{R}$ : \[ (x, y) \star (x', y') = (xx',xy'+y) \]
  1. Montrer que $(\mathbb{R}^\ast \times \mathbb{R},\star)$ est un groupe. Ce groupe est-il commutatif ?\\
  2. Simplifier $(x,y)^n$ pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^\ast \times \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}$.
Exercice 1791. Montrer que l’ensemble des fonctions \[ z \mapsto az+b \] où $(a,b)$ décrit $\mathbb{C}^\ast \times \mathbb{C}$, est un groupe pour la composition.
Exercice 1792. Soit $(G,\ast)$ un groupe. On considère \[ C=\{h \in G\mid \forall g \in G,\ h\ast g=g\ast h\} \] qu’on appelle le centre de $G$.\\
  1. Si $G$ est commutatif, que dire de son centre ?\\
  2. Dans le cas général, démontrer que $C$ est un sous-groupe de $G$.\\
  3. Déterminer le centre de $S_3$.
Exercice 1793. Soit $G$ un groupe et $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$.\\
  1. Montrer que $H\cap K$ est un sous-groupe de $G$.\\
  2. Montrer que $H\cup K$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H\subset K$ ou $K\subset H$.
Exercice 1794. On note $G$ l’ensemble des matrices \[ \begin{pmatrix} 1&n\\ 0&1 \end{pmatrix} \] où $n$ parcourt $\mathbb{Z}$.\\
  1. Montrer que $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$.\\
  2. À quel groupe familier $G$ est-il isomorphe ?
Exercice 1795. Soient $a,b \in \mathbb{N}^\ast$.\\ Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $U_a$ soit un sous-groupe de $U_b$.
Exercice 1796. On dit qu’un groupe $(G,\times)$ est d’ordre fini si l’ensemble $G$ est fini.\\ Si $e$ est le neutre de $(G,\times)$ et si $g \in G$, on dit que $g$ est d’ordre fini s’il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $g^n=e$.\\
  1. Donner un exemple de groupe fini. Donner un exemple d’un élément d’ordre fini dans un groupe infini.
  2. Soit $G$ un groupe fini d’ordre $n$ et de neutre $e$, et soit $g \in G$.
    1. Justifier que l’application $\varphi_g : [[0,n]] \to G$, $k \mapsto g^k$, n’est pas injective.
    2. En déduire qu’il existe $m \in [[1,n]]$ tel que $g^m=e$.
    3. Conclure.
  3. On pose $\Omega=\{z \in \mathbb{C} \mid \exists n \in \mathbb{N}^*,\ z^n=1\}$.
    1. Justifier que $(\Omega,\times)$ est un groupe.
    2. Montrer que $\Omega$ n’est pas d’ordre fini mais que tous ses éléments sont d’ordre fini.
Exercice 1797. Quel est le plus petit entier $n$ tel qu’il existe un groupe non commutatif de cardinal $n$ ?

Exercice 1798. Plus petit sous-groupe

\\ Soit $G$ un groupe et soit $A$ une partie de $G$. \\ Montrer qu'il existe un plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$, que l'on notera $\langle A \rangle$ et qu'il peut être décrit des deux manières suivantes : \\
  1. C'est l'intersection des sous-groupes de $G$ contenant $A$.\\
  2. C'est l'ensemble des produits $a_1\hdots a_n \in G$ où $n \geqslant 0$ est entier et pour tout $i \geqslant 1$, $a_i \in A$ ou $a^{-1}_i \in A$. \\ on considère que le produit vide est égal à e et fait partie de cet ensemble.
Exercice 1799. Soient $(G,\ast)$ un groupe et $A$ une partie finie non vide de $G$, stable pour $\ast$.\\
  1. Soient $x\in A$ et \[ \varphi:\N\to G,\qquad \varphi(n)=x^n. \] Montrer que $\varphi$ n’est pas injective.\\
  2. En déduire que \[ x^{-1}\in A \] puis que $A$ est un sous-groupe de $(G,\ast)$.

Exercice 1800. Ordre d'un élément

\\ Pour tout $x$ un élément d'un groupe $(G, \cdot)$ d'élément neutre $e$, $x$ est dit d'ordre fini si et seulement si il existe $n \in \N^*$ tel que $x^n =e$. L'ordre de $x$ est le plus petit entier $n \in \N^*$ tel que $x^n = e$. \\ Soit $(G, \cdot)$ un groupe et $(a,b) \in G^2$. \\
  1. Montrer que si $a$,$b$ et $ab$ sont d'ordre $2$, alors $ab=ba$. \\
  2. Montrer que si $a$ est d'ordre fini, alors $a^{-1}$ aussi et ont le même ordre. \\
  3. Montrer que si $a$ est d'ordre fini, alors $bab^{-1}$ aussi et ils ont le même ordre. \\
  4. Montrer que si $ab$ est d'ordre fini, alors $ba$ aussi et ont le même ordre.
Exercice 1801. Soit $n \in \N^*$. \\
  1. Montrer que l’ensemble $\U_n$ est un groupe multiplicatif : \\ \[ U_n = \{z \in \C \; : \; z^n = 1\} \]
  2. Montrer que l’ensemble $V$ suivant est un groupe multiplicatif : \[ V = \{z \in \C \quad \mathrm{tels} \; \mathrm{que} \quad \exists n \in \N^*, \; z^n = 1\} \]
  3. Soient $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux. Déterminer $\U_p \cap \U_q$.\\
  4. Montrer que l’application $\varphi : \U_p \times \U_q \to \U_{pq}$ définie par $\varphi(x,y)=xy$ est un isomorphisme de groupe.
Exercice 1802. On considère l’ensemble\\ \[ E=\left\{\Frac{1}{n!} : n \in \N^*\right\}. \] Déterminer tous les sous-groupes du groupe $(\Q,+)$ contenant $E$.
Exercice 1803. Soit $E$ un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition associative pour laquelle tous les éléments de $E$ sont réguliers, c’est-à-dire que pour tous $y,z \in E$, $xy = xz$ implique $y=z$, et $yx = zx$ implique $y=z$.\\ Montrer que $E$ est un groupe.
Exercice 1804. Soit $G = ]-1,1[$. On pose $x \ast y = \dfrac{x+y}{1+xy}$. Montrer que $(G,\ast)$ est un groupe abélien.\\ Indication : La formule de $x \ast y$ évoque la tangente hyperbolique.
Exercice 1805. Soit $G$ un groupe fini, dont la loi est notée multiplicativement, de neutre noté $e$. \\ On suppose que pour tout $x \in G$, $x^2=e$. \\
  1. Montrer que $G$ est commutatif. \\
  2. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ et $a \in G \setminus H$. On pose $aH=\{ax \mid x \in H\}$. \\
    1. Montrer que $H \cap aH$ est vide et construire une bijection entre $H$ et $aH$. En déduire que $|H \cup aH|=2|H|$. \\
    2. Montrer que $H \cup aH$ est un sous-groupe de $G$. \\
  3. Montrer qu’il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que le cardinal de $G$ est égal à $2^n$.
Exercice 1806. Soit $G$ un groupe fini d’ordre $n$. Soit $\{g_1,\ldots,g_k\}$ un système générateur minimal pour l’inclusion de $G$. Montrer que $n \geqslant 2^k$.

Exercice 1807. Théorème de Lagrange

\\ Soit un groupe fini $G$ et soit $H$ un sous-groupe de $G$. On note $n$ l’ordre de $G$, c’est-à-dire son cardinal. \\ On note $d$ l’ordre de $H$. On veut montrer que $d$ divise $n$. Ce résultat est appelé théorème de Lagrange. \\ Pour $x \in G$, on appelle classe à gauche de $x$ suivant $H$ l’ensemble $xH$ défini par : $xH=\{xh \;\; t.q. \;\; h \in H\}$. \\ On définit une relation binaire sur $G$ en posant : $y \sim x$ si $yH=xH$. \\
  1. Montrer que $\sim$ est une relation d’équivalence sur $G$. On rappelle que les classes d’équivalence pour une relation d’équivalence sur un ensemble $E$ constituent une partition de $E$. \\
  2. Soit $x,y \in G$, montrer que $y \sim x \Leftrightarrow \exists h \in H \;\; t.q. \;\; y=xh$. \\
  3. Soit $x \in G$, montrer que la classe d’équivalence de $x$ pour la relation $\sim$ est $xH$. \\ Construire une bijection entre $xH$ et $H$ et conclure.
Exercice 1808. Soit $G$ un groupe. \\ Le centre de $G$ est l’ensemble $Z(G)$ des éléments qui commutent avec tous les éléments de $G$. \\
  1. Décrire $Z(G)$ à l’aide de quantificateurs et montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$. \\
  2. Que vaut $Z(G)$ lorsque $G$ est abélien ? \\
  3. Si $a,b \in \mathbb{R}$, on pose $f_{a,b} : \left\{ \begin{aligned} \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto ax+b \end{aligned} \right.$. \\ Montrer que $G=\{f_{a,b} \mid a \in \mathbb{R}^*,\; b \in \mathbb{R}\}$ est un groupe pour $\circ$ et déterminer son centre. \\

Exercice 1809. Sous-groupes de $\Z$

\\ Soit $n \in \Z$. On désigne par $n\Z$ l'ensemble des multiples de $n$. \\ Montrer que les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont de la forme $n\Z$.

Exercice 1810. Sous-groupe engendré

\\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $g\in G$ d'ordre $n$. \\ Montrer que $\langle g \rangle = \{1,g,g^2,\hdots,g^{n-1}\}$ et $\mathrm{Card}\langle g\rangle = n$.
Exercice 1811. Soit $(G,\ast)$ un groupe cyclique.\\
  1. Montrer que tous les sous-groupes de $G$ sont cycliques.\\
  2. On suppose que $\mathrm{card}(G)=n$ et que $d \in \N^*$ divise $n$. Montrer que $G$ possède un unique sous-groupe de cardinal $d$.\\
  3. En déduire que \[ n=\Sum_{d \mid n}\varphi(d), \] où $\varphi$ désigne l'indicatrice d'Euler.
Exercice 1812. Soit $(G,\times)$ un groupe fini, de neutre $e$, tel que \[ \forall x \in G,\quad x^2=e. \]
  1. Montrer que $G$ est abélien et que son cardinal est pair si $G \neq \{e\}$. \\
  2. Prouver que le cardinal de $G$ est une puissance de $2$.
Exercice 1813. Soit $n \geq 2$.\\
  1. Déterminer un groupe multiplicatif de matrices de $\mathfrak{M}_n(\mathbb{C})$ qui ne soit pas un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{C})$.\\
  2. Montrer que tous les éléments d'un tel sous-groupe ont le même rang.
Exercice 1814. On rappelle que, si $a \in \mathbb{N}$, on note \[ a\mathbb{Z}=\{ak\mid k \in \mathbb{Z}\}. \] Le but de l’exercice est de déterminer tous les sous-groupes de $\mathbb{Z}$.\\
  1. Soit $a \in \mathbb{N}$. Montrer que $a\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.\\
  2. Montrer que $\{0\}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ de la forme $a\mathbb{Z}$.\\ On fixe maintenant $H$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ non réduit à $\{0\}$.\\
  3. Montrer que \[ H^+=\{h \in H\mid h > 0\} \] possède un plus petit élément. On note ce plus petit élément $a$.\\
  4. Montrer que $a\mathbb{Z}\subset H$.\\
  5. En étudiant le reste de la division euclidienne d’un élément de $H$ par $a$, montrer que $H\subset a\mathbb{Z}$.\\
  6. Conclure soigneusement l’exercice.\\
  7. Bonus : si $(a,b)\in \mathbb{Z}^2$, montrer que $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$, donc de la forme $d\mathbb{Z}$. Montrer que $d=a\wedge b$.
Exercice 1815.
  1. Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, on a \[ \det \begin{pmatrix} 1&n\\ 0&1 \end{pmatrix} =1. \] Donc \[ G\subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}). \] De plus \[ I_2= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \in G. \] Soient \[ A_n= \begin{pmatrix} 1&n\\ 0&1 \end{pmatrix} \] et \[ A_m= \begin{pmatrix} 1&m\\ 0&1 \end{pmatrix} \] dans $G$.\\ On a \[ A_m^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-m\\ 0&1 \end{pmatrix}. \] Donc \[ A_nA_m^{-1} = \begin{pmatrix} 1&n-m\\ 0&1 \end{pmatrix}. \] Comme \[ n-m \in \mathbb{Z}, \] on a \[ A_nA_m^{-1}\in G. \] Ainsi $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$.
  2. Considérons \[ \varphi: \left\{ \begin{array}{rcl} (\mathbb{Z},+)&\to&(G,\times)\\ n&\mapsto& \begin{pmatrix} 1&n\\ 0&1 \end{pmatrix}. \end{array} \right. \] Pour tous $n,m \in \mathbb{Z}$ : \[ \varphi(n+m) = \begin{pmatrix} 1&n+m\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&n\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&m\\ 0&1 \end{pmatrix} = \varphi(n)\varphi(m). \] Donc $\varphi$ est un morphisme de groupes.\\ Il est clairement bijectif.\\ Ainsi \[ G\simeq (\mathbb{Z},+). \]
Exercice 1816. Soit $(G,\times)$ un groupe et $e$ son neutre. On suppose que $\forall x \in G$, $x^2=e$.\\
  1. Montrer que le groupe est commutatif.
  2. Soit $H$ un sous-groupe strict de $G$ et $a \in G \setminus H$, montrer que $H \cup aH$ est un sous-groupe de $G$.
Exercice 1817. Soient $x,y$ deux éléments d’un groupe $G$ tels que $(xy)^{-1}=x^{-1}y$ et $(yx)^{-1}=y^{-1}x$.\\ Montrer que $(x^2)^{-1}=y^2$ et $x^4=y^4=e$.
Exercice 1818. Soit $(G,\times)$ un groupe et $H$ et $K$ deux sous-groupes. On pose \[ HK=\{hk \mid h \in H,\ k \in K\} \] et \[ KH=\{kh \mid h \in H,\ k \in K\}. \]
  1. On suppose que $HK=KH$. Montrer que $HK$ est un sous-groupe de $G$.
  2. Montrer la réciproque.
Exercice 1819. Un sous-groupe $H$ de $G$ est dit distingué si \[ \forall x \in H,\ \forall a \in G,\ axa^{-1} \in H. \]
  1. Soit $f$ un morphisme de groupes de $G$ vers $G$. Montrer que $\ker(f)$ est distingué dans $G$.
  2. Soient $H,K$ deux sous-groupes de $G$ tels que $H$ soit distingué. Montrer que \[ HK=\{xy \mid x \in H,\ y \in K\} \] est un sous-groupe de $G$.
Exercice 1820. Montrer que \[ \{x+y\sqrt{3} \mid x \in \mathbb{N},\ y \in \mathbb{Z},\ x^2-3y^2=1\} \] est un sous-groupe de $(\mathbb{R}_+^*,\times)$.
Exercice 1821. On considère un groupe $(G,\times)$ ainsi que $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$. On pose \[ HK=\{z \in G \mid \exists (x,y) \in H \times K,\ z=xy\} \] et \[ KH=\{z \in G \mid \exists (x,y) \in H \times K,\ z=yx\}. \]
  1. Montrer que si $z \in HK$, alors $z^{-1} \in KH$.
  2. Montrer que si $HK$ est un sous-groupe de $G$, alors $HK=KH$.
  3. Montrer que $HK$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $HK=KH$.
Exercice 1822. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note \[ U_n=\{z \in \mathbb{C} \mid z^n=1\}. \] On rappelle que les sous-groupes additifs de $\mathbb{Z}$ sont tous de la forme $a\mathbb{Z}$ avec $a \in \mathbb{N}$.\\
  1. Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$. Montrer que si $H \subset K$, alors $H$ est un sous-groupe de $K$.
  2. Montrer que $U$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$.
  3. Montrer que $(U_n,\times)$ est un groupe abélien.
  4. Montrer que l’application $f:\mathbb{Z} \to U_n$, $k \mapsto e^{2ik\pi/n}$, est un morphisme surjectif.
  5. Déterminer $\ker(f)$.
  6. Soit $H$ un sous-groupe de $(U_n,\times)$.
    1. Montrer que $f^{-1}(H)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$.
    2. En déduire qu’il existe $a \in \mathbb{N}$ tel que $f^{-1}(H)=a\mathbb{Z}$.
    3. Montrer que $n\mathbb{Z} \subset a\mathbb{Z}$.
    4. En déduire que $a$ divise $n$.
    5. Déterminer $H$.
    6. Montrer qu’il existe au plus un sous-groupe de $U_n$ de cardinal donné.
    7. Montrer que, pour tout diviseur $d$ de $n$, $U_d$ est l’unique sous-groupe de $U_n$ de cardinal $d$.
    8. Déterminer le nombre de sous-groupes de $U_{10}$.
Exercice 1823. Dans ce problème, $G$ est un groupe fini de cardinal $n$, dont la loi est notée multiplicativement.\\ On note $\langle x\rangle$ le groupe engendré par $x$, c’est-à-dire \[ \langle x\rangle=\{e,x,\dots,x^{p-1}\}, \] où $p$ est le plus petit entier strictement positif tel que $x^p=e$. On dit que $p$ est l’ordre de $x$.\\ On rappelle que si $f:A \to B$ est une bijection, alors $\mathrm{Card}(A)=\mathrm{Card}(B)$.\\ On rappelle enfin que si $A \subset B$ et $\mathrm{Card}(A)=\mathrm{Card}(B)$, alors $A=B$.\\
  1. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d’ordre $h$. On définit sur $G$ la relation \[ xRy \Longleftrightarrow xy^{-1} \in H. \]
    1. Montrer que $R$ est une relation d’équivalence et déterminer la classe de $e$.
    2. Montrer que chaque classe d’équivalence est de cardinal $h$.
    3. En déduire que $h$ divise $n$.
    4. Montrer que $\langle x\rangle$ est un sous-groupe de $G$ pour tout $x \in G$.
    5. En déduire que $x^n=e$ pour tout $x \in G$.
  2. Montrer que si $n$ est premier, alors il existe $x \in G$ tel que \[ G=\langle x\rangle. \]

Exercice 1824. Oral X

\\ Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, il existe un unique sous-groupe de $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, +)$ de cardinal $n$.
Exercice 1825. Soit $G$ un groupe fini non abélien et $Z = \{ g \in G \mid \forall h \in G \; , \; gh = hg \}$ son centre.\\ Montrer que $\abs{Z} \leqslant \dfrac{\abs{G}}{4}$.

Exercice 1826. Oral ENS

\\ Quels sont les groupes qui ne possèdent qu'un nombre fini de sous-groupes ?

Exercice 1827. Sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$

\\ Soit $G$ un groupe commutatif fini de cardinal $n$ et d’élément neutre $e$.\\
  1. Montrer que $x^n=e$ pour tout $x \in G$. \\
  2. Déterminer tous les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$.

Exercice 1828. Sous-groupes additifs de $\R$ et de $\R^2$

\\
  • Soit $A$ un sous-groupe additif de $\R$. Montrer que $A$ est soit dense dans $\R$, soit de la forme $a\Z$ avec $a \in A$. \\
  • Soit $A$ un sous-groupe additif de $\R^2$ vérifiant la propriété : \\ \[ B \subset \R^2 \;\; est \;\; bornée \; \Longrightarrow A \cap B \;\; est \;\; finie. \tag{$*$} \] Montrer qu'il existe $(u,v) \in A^2$ tel que $A = u\Z + v\Z$.

    • Exercice 1829. Groupes cycliques

    \\ Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

    Exercice 1830. Groupe fini

    \\ Soit $G$ un groupe de cardinal $n$. Soit $g \in G$. \\
    1. Etablir l'existence d'un plus petit entier $p > 0$ tel que $g^p = e$. \\
    2. Montrer que l'ensemble $\{e,g,g^2,\hdots,g^{p-1}\}$ est un sous-groupe de $G$ de cardinal $p$. \\
    3. Montrer que $g^n = e$.
    Exercice 1831. Munissons $E=\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}$ de la loi $*$ définie par :\\ $\forall (x,y)\in E,\forall (u,v)\in E,\quad (x,y)*(u,v)=\left(xu,\Frac{v}{x}+yu\right)$.\\
    1. Démontrer que $(E,*)$ est un groupe.\\
    2. Pour toute application $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$, on pose $G_f=\{(x,f(x))\ /\ x\in\mathbb{R}^*\}$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que $G_f$ soit un sous-groupe de $E$.
    Exercice 1832. Soit $G$ un groupe noté multiplicativement.\\ On note $D(G)=\mathrm{Gr}\{xyx^{-1}y^{-1}\;;\;(x,y)\in G^2\}$.\\
    1. Montrer que $D(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$.\\
    2. On suppose que $H$ est un sous-groupe distingué de $G$.\\ Montrer que $G/H$ est abélien si et seulement si $D(G)\subset H$.
    Exercice 1833. Soit $E$ un ensemble fini muni d'une loi de composition interne $*$ associative pour laquelle tous les éléments de $E$ sont réguliers. Etablir que $(E,*)$ est un groupe.
    Exercice 1834. Soit $(G,\cdot)$ un groupe. On suppose que l’application $f:x\mapsto x^3$ est un endomorphisme surjectif de $G$. L’objectif est de démontrer que $G$ est commutatif.\\
    1. Démontrer que : $\forall (x,y)\in G^2,\ x^3y^3(x^{-1})^3=xy^3x^{-1}$.\\
    2. Démontrer que : $\forall (x,y)\in G^2,\ x^2y^3=y^3x^2$.\\
    3. Démontrer que : $\forall (x,y)\in G^2,\ x^2y=yx^2$.\\
    4. Démontrer que : $\forall (x,y)\in G^2,\ x^2y^2=yxyx$.\\
    5. Conclure.
    Exercice 1835. Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif. Pour $y\in G$, on note $o(y)$ l’ordre de $y$.\\
    1. Soit $x\in G$ tel que $o(x)=pq$, où $(p,q)\in\N^{2}$. Déterminer $o(x^{p})$.\\
    2. Soit $(x,y)\in G^{2}$. On pose $o(x)=p$ et $o(y)=q$. On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Déterminer $o(xy)$.\\
    3. Montrer qu’il existe un $x\in G$ tel que $o(x)$ soit égal au plus petit commun multiple des ordres des éléments de $G$.
    Exercice 1836. Soit $n \geqslant 1$. Montrer à chaque fois que $S_n$ est engendré par :\\
    1. Les transpositions de $S_n$. \\
    2. Les transpositions de la forme $(1\; i)$ pour $i \in \llbracket 2,n \rrbracket$. \\
    3. Les transpositions de la forme $(i\; i+1)$ pour $i \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$. \\
    4. Les permutations $(1\;2)$ et $(1\;2\ldots n)$.
    Exercice 1837. Soit $n \geqslant 1$. On note $A_n$ le groupe alterné.
    1. Montrer que si $n \geqslant 4$, alors $Z(A_n)=\{id\}$. \\
    2. Montrer que si $n \geqslant 5$, alors $A_n$ est engendré par les $3$-cycles, et que les $3$-cycles sont conjugués dans $A_n$.
    Exercice 1838. \\
    1. Soit $G$ un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ non réduit à $\{0\}$. Montrer que $G$ est soit dense dans $\mathbb{R}$, soit de la forme $\alpha\mathbb{Z}$ avec $\alpha>0$. \\
    2. Soient $\alpha,\beta \in \mathbb{R}^*$. Discuter la nature de $\alpha\mathbb{Z}+\beta\mathbb{Z}$. \\
    3. Soit $\beta \notin \mathbb{Q}$. Montrer que $\mathbb{N}\beta+\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$. \\
    4. Soit $\theta \notin 2\pi\mathbb{Q}$. Montrer que $(e^{in\theta})_{n\in\mathbb{N}}$ est dense dans le cercle unité.
    Exercice 1839. Soit $G$ un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ non réduit à $\{0\}$.\\ On pose \[ \alpha=\inf(\mathbb{R}^{\ast}_+\cap G). \]
    1. Justifier l’existence de $\alpha$.\\
    2. On suppose que $\alpha > 0$.\\
      1. Montrer que $\alpha \in G$.\\
      2. En déduire que \[ G=\alpha\mathbb{Z}. \]
    3. Montrer que si $\alpha=0$, pour tout réel $x$ et tout $\varepsilon > 0$, on peut trouver $g \in G$ tel que \[ |x-g|\leqslant \varepsilon. \]
    4. En déduire que dans ce cas, $G$ est dense dans $\mathbb{R}$.\\
    5. Application : soit $a,b \in \mathbb{R}^\ast$. Montrer que \[ a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z} \] est dense dans $\mathbb{R}$ si et seulement si \[ \dfrac ab \notin \mathbb{Q}. \]
    Exercice 1840. Soit $p$ un nombre premier. On pose \[ G_p=\{z \in \mathbb{C} \mid \exists k \in \mathbb{N},\ z^{p^k}=1\}. \]
    1. Montrer que $G_p$ est un groupe pour la multiplication.
    2. Montrer que les sous-groupes propres de $G_p$ sont cycliques et qu’aucun d’eux n’est maximal pour l’inclusion.
    3. Montrer que $G_p$ ne peut pas être engendré par un système fini d’éléments.
    Exercice 1841. On cherche à résoudre l’équation diophantienne $x^2-3y^2=1$ d’inconnue $(x,y) \in \mathbb{N}^2$.\\ On pose \[ H=\{a+b\sqrt{3} \mid (a,b) \in \mathbb{Z}^2,\ a^2-3b^2=1\}. \]
      1. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*,\times)$.
      2. Soit $H^+=\{h \in H \mid h \geqslant 0\}$. Montrer que $(H^+,\times)$ est un groupe.
    2. Montrer qu’il existe $a_0,b_0 \in \mathbb{N}^*$ avec $b_0$ minimal tel que $h_0=a_0+b_0\sqrt{3} \in H$. Déterminer $h_0$.
      1. Soit $h=a+b\sqrt{3} \in H$. Montrer que si $1 \leqslant h$, alors $b \geqslant 0$ et $a > 0$.
      2. En déduire que si $1 \leqslant h < h_0$, alors $h=1$.
      1. Soit $h \in H^+$. Montrer qu’il existe $n \in \mathbb{Z}$ tel que $h_0^n \leqslant h < h_0^{n+1}$ puis montrer que $h=h_0^n$.
      2. Déduire de ce qui précède tous les éléments de $H^+$.
      3. Donner alors les solutions de l’équation $x^2-3y^2=1$ dans $\mathbb{N}^2$.
    Exercice 1842. On considère l’équation \[ (E):a^2-2b^2=1. \] On pose \[ G=\{(a,b) \in \mathbb{Z}^2 \mid a^2-2b^2=1\}. \] On définit sur $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ l’opération $\times_0$ par \[ (a,b)\times_0(c,d)=(ac+2bd,ad+bc). \]
    1. Montrer que \[ (ac+2bd)^2-2(ad+bc)^2=(a^2-2b^2)(c^2-2d^2). \]
    2. En déduire que $G$ est stable par $\times_0$.
    3. Montrer que $\times_0$ est associative et commutative sur $G$.
    4. Montrer que $(G,\times_0)$ est un groupe abélien.
    5. Déterminer les éléments de $G$ de la forme $(1,b)$ ou $(2,b)$.
    6. On pose $x=(3,2)$, $x_0=(1,0)$ et $x_{n+1}=x_n \times_0 x$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On note $x_n=(a_n,b_n)$.
      1. Montrer que $x_n \in G$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
      2. Déterminer une relation de récurrence vérifiée par $(a_n)$ et $(b_n)$.
      3. En déduire une expression explicite de $a_n$.

    Exercice 1843. Oral ENS

    \\ Soit $G$ un groupe abélien d'ordre $pq$, où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique.

    Exercice 1844. Sous-groupes de $\R_+$

    \\
    1. Montrer que les sous-groupes du groupe $(\R,+)$ sont soit de la forme $a\Z$ avec $a \in \Rpe$, soit denses dans $\R$. \\
    2. Application 1 : Montrer que $\{a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Z^2\}$ est dense dans $\R$. \\
    3. Application 2 : groupe des périodes d’une fonction. \\
      1. Soit $f : \R \to \R$. Montrer que l’ensemble des périodes de $f$ est un sous-groupe de $(\R,+)$. \\
      2. Montrer qu’une fonction continue sur $\R$ qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour périodes est constante. \\
      3. Trouver une fonction dont le groupe des périodes est dense dans $\R$ mais n’est pas égal à $\R$.
    Exercice 1845. Soit $(G,\ast)$ un groupe. On définit son centre par $Z(G)=\{x \in G,\; \forall y \in G,\; y \ast x=x \ast y\}$.\\
    1. Démontrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $(G,\ast)$.\\
    2. Soit $p$ un nombre premier. On appelle $p$-groupe tout groupe fini $(G,\ast)$ tel qu'il existe $k \in \N$ vérifiant $|G|=p^k$.\\ En utilisant l'action de $G$ sur lui-même par conjugaison, montrer que $|Z(G)|$ est de la forme $p^r$ avec $r \in [1,k]$.\\
    3. Montrer que sont équivalents :\\ (i) $G$ est un $p$-groupe,\\ (ii) tout élément de $G$ est d'ordre $p^r$ pour un certain $r \in \N$.\\
    4. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes de cardinal $p^2$.
    Exercice 1846. Soit $G$ un groupe fini de neutre $1$.\\ Soit $\varphi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe, c'est-à-dire tel que \[ \forall x \in G,\quad \varphi(x)=x \Longrightarrow x=1. \] On note $n$ l'ordre de $\varphi$, c'est-à-dire le plus petit entier $n \in \mathbb{N}^*$ tel que \[ \varphi^n=\mathrm{id}. \]
    1. Montrer que, pour tout $x \in G$, \[ x\varphi(x)\varphi^2(x)\cdots\varphi^{n-1}(x)=1. \]
    2. Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$ ? Donner un exemple.\\
    3. Si $n=3$, montrer que, pour tout $x \in G$, $x$ et $\varphi(x)$ commutent.