Groupes et sous groupes

Exercice 801. Soit $(G, \cdot)$ un groupe, $e$ son élément neutre, et $a,b \in G$ tels que \[ ba = ab^2 \quad et \quad ab =ba^2 \] Montrer que $a=b=e$.
Exercice 802. Sur $]-1,1[$ on définit une loi $*$ par \[ \forall (x,y) \in (]-1,1[)^2, \;\; x*y = \Frac{x+y}{1+xy} \] Montrer que $(]-1,1[,*)$ est un groupe commutatif.
Exercice 803. Soit $(G,\cdot)$ un groupe. \\
  1. Montrer que si $\forall x \in G$, $x^2=e$, alors $G$ est abélien. \\
  2. Montrer que si $\forall (x,y) \in G^2$, $(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2$, alors $G$ est abélien. \\
  3. On suppose qu'il existe $n \in \N^*$ tel que $\forall (x,y) \in G^2$, $(x\cdot y)^n = y \cdot x$. Montrer que $G$ est abélien.

Exercice 804. Centre d'un groupe

\\ Soit $(G,*)$ un groupe. On appelle centre de $G$ l’ensemble\\ \[ Z(G)=\{x \in G : \forall y \in G, \; xy = yx\}. \] Montrer que $(Z(G),*)$ est un sous-groupe de $G$ abélien. \\ Z(G) est le centre du groupe G.

Exercice 805. Stabilisateur

\\ Soient $x$ un élément d’un ensemble $X$, et $(G,\circ)$ le groupe des bijections de $X$. On appelle stabilisateur de $x$ l’ensemble\\ \[ S_x=\{g \in G : g(x)=x\}. \] Montrer que $S_x$ est un sous-groupe de $G$.

Exercice 806. Intersection et union de sous-groupe

\\ Soient $G_1$ et $G_2$ deux sous-groupes d’un groupe $(G,\perp)$.\\
  1. Montrer que $G_1 \cap G_2$ est un sous-groupe de $G$.\\
  2. Montrer que $G_1 \cup G_2$ est sous-groupe de $G$ $\iff$ $G_1 \subset G_2$ ou $G_2 \subset G_1$.
Exercice 807. On considère l’ensemble\\ \[ E=\left\{\Frac{1}{n!} : n \in \N^*\right\}. \] Déterminer tous les sous-groupes du groupe $(\Q,+)$ contenant $E$.

Exercice 808. Plus petit sous-groupe

\\ Soit $G$ un groupe et soit $A$ une partie de $G$. \\ Montrer qu'il existe un plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$, que l'on notera $\langle A \rangle$ et qu'il peut être décrit des deux manières suivantes : \\
  1. C'est l'intersection des sous-groupes de $G$ contenant $A$.\\
  2. C'est l'ensemble des produits $a_1\hdots a_n \in G$ où $n \geqslant 0$ est entier et pour tout $i \geqslant 1$, $a_i \in A$ ou $a^{-1}_i \in A$. \\ on considère que le produit vide est égal à e et fait partie de cet ensemble.

Exercice 809. Ordre d'un élément

\\ Pour tout $x$ un élément d'un groupe $(G, \cdot)$ d'élément neutre $e$, $x$ est dit d'ordre fini si et seulement si il existe $n \in \N^*$ tel que $x^n =e$. L'ordre de $x$ est le plus petit entier $n \in \N^*$ tel que $x^n = e$. \\ Soit $(G, \cdot)$ un groupe et $(a,b) \in G^2$. \\
  1. Montrer que si $a$,$b$ et $ab$ sont d'ordre $2$, alors $ab=ba$. \\
  2. Montrer que si $a$ est d'ordre fini, alors $a^{-1}$ aussi et ont le même ordre. \\
  3. Montrer que si $a$ est d'ordre fini, alors $bab^{-1}$ aussi et ils ont le même ordre. \\
  4. Montrer que si $ab$ est d'ordre fini, alors $ba$ aussi et ont le même ordre.

Exercice 810. Sous-groupes de $\Z$

\\ Soit $n \in \Z$. On désigne par $n\Z$ l'ensemble des multiples de $n$. \\ Montrer que les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont de la forme $n\Z$.

Exercice 811. Sous-groupe engendré

\\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $g\in G$ d'ordre $n$. \\ Montrer que $\langle g \rangle = \{1,g,g^2,\hdots,g^{n-1}\}$ et $\mathrm{Card}\langle g\rangle = n$.

Exercice 812. Groupe fini

\\ Soit $G$ un groupe de cardinal $n$. Soit $g \in G$. \\
  1. Etablir l'existence d'un plus petit entier $p > 0$ tel que $g^p = e$. \\
  2. Montrer que l'ensemble $\{e,g,g^2,\hdots,g^{p-1}\}$ est un sous-groupe de $G$ de cardinal $p$. \\
  3. Montrer que $g^n = e$.

Exercice 813. Groupes cycliques

\\ Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

Exercice 814. Sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$

\\ Soit $G$ un groupe commutatif fini de cardinal $n$ et d’élément neutre $e$.\\
  1. Montrer que $x^n=e$ pour tout $x \in G$. \\
  2. Déterminer tous les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$.
Exercice 815. Soit $n \in \N^*$. \\
  1. Montrer que l’ensemble $\U_n$ est un groupe multiplicatif : \\ \[ U_n = \{z \in \C \; : \; z^n = 1\} \]
  2. Montrer que l’ensemble $V$ suivant est un groupe multiplicatif : \[ V = \{z \in \C \quad \mathrm{tels} \; \mathrm{que} \quad \exists n \in \N^*, \; z^n = 1\} \]
  3. Soient $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux. Déterminer $\U_p \cap \U_q$.\\
  4. Montrer que l’application $\varphi : \U_p \times \U_q \to \U_{pq}$ définie par $\varphi(x,y)=xy$ est un isomorphisme de groupe.

Exercice 816. Oral ENS

\\ Quels sont les groupes qui ne possèdent qu'un nombre fini de sous-groupes ?

Exercice 817. Sous-groupes additifs de $\R$ et de $\R^2$

\\
  • Soit $A$ un sous-groupe additif de $\R$. Montrer que $A$ est soit dense dans $\R$, soit de la forme $a\Z$ avec $a \in A$. \\
  • Soit $A$ un sous-groupe additif de $\R^2$ vérifiant la propriété : \\ \[ B \subset \R^2 \;\; est \;\; bornée \; \Longrightarrow A \cap B \;\; est \;\; finie. \tag{$*$} \] Montrer qu'il existe $(u,v) \in A^2$ tel que $A = u\Z + v\Z$.

    • Exercice 818. Sous-groupes de $\R_+$

    \\
    1. Montrer que les sous-groupes du groupe $(\R,+)$ sont soit de la forme $a\Z$ avec $a \in \Rpe$, soit denses dans $\R$. \\
    2. Application 1 : Montrer que $\{a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Z^2\}$ est dense dans $\R$. \\
    3. Application 2 : groupe des périodes d’une fonction. \\
      1. Soit $f : \R \to \R$. Montrer que l’ensemble des périodes de $f$ est un sous-groupe de $(\R,+)$. \\
      2. Montrer qu’une fonction continue sur $\R$ qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour périodes est constante. \\
      3. Trouver une fonction dont le groupe des périodes est dense dans $\R$ mais n’est pas égal à $\R$.
    Exercice 819. Soit $E$ un ensemble fini muni d'une loi de composition interne $*$ associative pour laquelle tous les éléments de $E$ sont réguliers. Etablir que $(E,*)$ est un groupe.
    Exercice 820. Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif. Pour $y\in G$, on note $o(y)$ l’ordre de $y$.\\
    1. Soit $x\in G$ tel que $o(x)=pq$, où $(p,q)\in\N^{2}$. Déterminer $o(x^{p})$.\\
    2. Soit $(x,y)\in G^{2}$. On pose $o(x)=p$ et $o(y)=q$. On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Déterminer $o(xy)$.\\
    3. Montrer qu’il existe un $x\in G$ tel que $o(x)$ soit égal au plus petit commun multiple des ordres des éléments de $G$.
    Exercice 821. Soit $G$ un groupe noté multiplicativement.\\ On note $D(G)=\mathrm{Gr}\{xyx^{-1}y^{-1}\;;\;(x,y)\in G^2\}$.\\
    1. Montrer que $D(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$.\\
    2. On suppose que $H$ est un sous-groupe distingué de $G$.\\ Montrer que $G/H$ est abélien si et seulement si $D(G)\subset H$.
    Exercice 822. Soit $G$ un groupe fini non abélien et $Z = \{ g \in G \mid \forall h \in G \; , \; gh = hg \}$ son centre.\\ Montrer que $\abs{Z} \leqslant \dfrac{\abs{G}}{4}$.
    Exercice 823. Soit $n \geqslant 1$. Montrer à chaque fois que $S_n$ est engendré par :\\
    1. Les transpositions de $S_n$. \\
    2. Les transpositions de la forme $(1\; i)$ pour $i \in \llbracket 2,n \rrbracket$. \\
    3. Les transpositions de la forme $(i\; i+1)$ pour $i \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$. \\
    4. Les permutations $(1\;2)$ et $(1\;2\ldots n)$.
    Exercice 824. Soit $n \geqslant 1$. On note $A_n$ le groupe alterné.
    1. Montrer que si $n \geqslant 4$, alors $Z(A_n)=\{id\}$. \\
    2. Montrer que si $n \geqslant 5$, alors $A_n$ est engendré par les $3$-cycles, et que les $3$-cycles sont conjugués dans $A_n$.

    Exercice 825. Oral X

    \\ Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, il existe un unique sous-groupe de $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, +)$ de cardinal $n$.

    Exercice 826. Oral ENS

    \\ Soit $G$ un groupe abélien d'ordre $pq$, où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique.