Loi interne
Exercice
797. Soit $*$ la loi interne définie dans $\R$ par \[ \forall (x,y) \in \R^2, \; x * y = x+y+x^2y^2 \]
- Montrer que $*$ est commutative. \\
- La loi $*$ est-elle associative ? \\
- Montrer que $\R$ admet un élément neutre pour $*$ et le calculer. \\
- Résoudre les équations $1 * x = 0$ et $1 * x = 1$.
Exercice
798. Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne notée multiplicativement, associative et telle qu'il existe $a \in E$ tel que \[ \forall y \in E, \; \exist x \in E, \; y = axa \]
- Montrer que $(E, \cdot)$ admet un neutre, notré $e$. \\
- Montrer que $a$ est symétrisable et exprimer le symétrique $a^{-1}$ de $a$.
Exercice
799. Soit $E$ un ensemble non vide. Pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$, on appelle différence symétrique de $A$ et $B$ la partie de $E$ notée $A \Delta B$ définie par \\
\[
A \Delta B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)
\] \\
- Justifier l’égalité affirmée par la définition ci-dessus. \\
- Montrer que l’opération $\Delta$ est commutative et associative. \\
- Soit $n \in \N$ avec $n \geqslant 2$. Soit $A_1 , \ldots , A_n$ des parties de $E$. Montrer que $x \in A_1 \Delta A_2 \Delta \cdots \Delta A_n$ si et seulement si le cardinal de $\{ i \in \{ 1 , \ldots , n \} \;/\; x \in A_i \}$ est impair.