Exercices divers

Exercice 967. Montrer que $\forall x \in \R$, $2\arctan(\th(x)) = \arctan(\sh(2x))$.
Exercice 968. Montrer que, pour tout $x \in \R$, on a $\left| \arctan(\sh(x)) \right| = \arccos\left( \dfrac{1}{\ch(x)} \right)$.
Exercice 969. Montrer que si l'on prend $7$ réels, il y en a au moins deux, $x$ et $y$ vérifiant \[ 0 \leqslant \Frac{x-y}{1+xy} \leqslant \Frac{1}{\sqrt{3}} \]

Exercice 970. Formule de John Machin

\\ Montrer que $4\arctan\parenthese{\Frac{1}{5}}-\arctan\parenthese{\Frac{1}{239}} = \ps{4}$.

Exercice 971. Formule de John Machin : autre preuve

\\
  1. Montrer que $A = \Frac{(5+i)^4}{(239+i)(1+i)}$ est réel strictement positif. \\
  2. Soit $x > 0$. Montrer que $\arctan\parenthese{\Frac{1}{x}}$ est un argument du complexe $x+i$. \\
  3. En déduire la formule de John Machin $4 \arctan\parenthese{\Frac{1}{5}}-\arctan\parenthese{\Frac{1}{239}} = \ps{4}$.

Exercice 972. Inégalité moyenne arithmétique et géométrique

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  1. Montrer que \[ \forall n \in \N^*, \;\; \forall x \in \Rpe, \;\; \forall y \in \Rpe, \;\; (n-1)x +\Frac{y^n}{x^{n-1}} \geqslant ny \]
  2. En déduire la comparaison entre moyenne arithmétique et géométrique de $n$ réels $> 0$, \[ \forall n \in \N^*, \;\; \forall(x_1,\hdots,x_n) \in (\R_+^*)^n, \quad \sqrt[n]{x_1\hdots x_n} \leqslant \Frac{x_1+\hdots+x_n}{n} \]