Réels et inégalités

Exercice 1104. Soit $a \in \R^{+}$. Montrer que $(\forall \varepsilon > 0,\; a \leqslant \varepsilon) \iff a = 0$.
Exercice 1105. Soient $x_0$, $x_1$ et $x_2$ trois réels de l'intervalle $[0;1]$ tels que : $x_0 \leqslant x_1 \leqslant x_2$. \\ Montrer qu'au moins une des quantités $x_1-x_0$ et $x_2-x_1$ est inférieure ou égale à $\Frac{1}{2}$.
Exercice 1106. \\
  1. Montrer que pour tout $(a,b) \in (\R^{+*})^2$, $\Frac{a^2}{a+b} \geqslant \Frac{3a-b}{4}$. \\
  2. En déduire que pour tout $(a,b,c) \in (\R^{+*})$, $\Frac{a^2}{a+b}+\Frac{b^2}{b+c}+\Frac{c^2}{c+a} \geqslant \Frac{a+b+c}{2}$.
Exercice 1107. Montrer que pour tout $a,b,c \in \R$, $(a+b+c)^2 \leqslant 4a^2+4b^2+2c^2$.
Exercice 1108. \\
  1. Soient $a,b,c$ trois réels dans $[0;1]$. Prouver que l'un au moins des nombres suivants est inférieur ou égal à $\Frac{1}{4}$ : $a(1-b), \quad b(1-c) \; \; et \; \; c(1-a)$. \\
  2. Soient $a,b,c$ trois réels strictement positifs. Justifier que parmi les trois nombres $a+\Frac{1}{b}$, $b+\Frac{1}{c}$ et $c+\Frac{1}{a}$, il existe au moins un nombre supérieur à $2$.
Exercice 1109. Soient $a,b, \alpha, \beta \in \Rpe$. Montrer que \[ \alpha a^{\frac{1}{\alpha}} + \beta b^{\frac{1}{\beta}} \geqslant (\alpha+\beta)(ab)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \] et étudier le cas d'égalité. \\ Exemple : en déduire que pour tout $a,b \in \Rpe$, $2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b} \geqslant 5 \sqrt[5]{ab}$.
Exercice 1110. Montrer que pour tout $x,y \in [0,1]$, on a $x^2+y^2-xy \leqslant 1$.
Exercice 1111. Soient $x,y \in [0,1]$. Montrer que \[ \min\{xy, (1-x)(1-y) \} \leqslant \Frac{1}{4} \]
Exercice 1112. Soit $n \in \N^*$ et $a_1, \hdots, a_n,b_1,\hdots,b_n \in \R$. Montrer que \[ \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k}^2 +\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k}^2 \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\sqrt{a_k^2+b_k^2}}^2 \]
Exercice 1113. Soit $n \in \N^*$ et $a_1, \hdots, a_n \in [1,+\infty[$. Montrer que \[ \Prod_{i=1}^{n} (1+a_i) \leqslant 2^{n-1} \parenthese{1+\Prod_{i=1}^{n} a_k} \]
Exercice 1114. Montrer que pour tous réels strictement positifs $(a,b)$ et que pour tout entier $n$, \[ \parenthese{1+\Frac{a}{b}}^n + \parenthese{1+\Frac{b}{a}}^{n} \geqslant 2^{n+1} \]
Exercice 1115. Soit $n \in \N^*$. On définit pour tout $x=(x_1,\hdots,x_n) \in \R^n$, \[ \norm{x}_{1} = \Sum_{i=1}^{n} \abs{x_i} \quad et \quad \norm{x}_{\infty} = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \abs{x_i} \] Montrer que pour tout $x \in \R^n$ et $y \in \R^n$, \[ \norm{x+y}_{1} \leqslant \norm{x}_{1} + \norm{y}_{1} \quad et \quad \norm{x+y}_{\infty} \leqslant \norm{x}_{\infty} + \norm{y}_{\infty} \]
Exercice 1116. Montrer que pour tous réels $x_1,\dots,x_n > 0$, on a \[ (x_1+\cdots+x_n)\parenthese{\Frac{1}{x_1}+\cdots+\Frac{1}{x_n}} \geqslant n^2 . \] Préciser les cas d’égalité.