Exercices divers
Exercice
1197. Montrer que $A = \Frac{\sqrt[3]{54\sqrt{3}+41\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}+\Frac{\sqrt[3]{54\sqrt{3}-41\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$ est un entier et le calculer.
Exercice 1198. Treillis
\\ On dit qu'un ensemble ordonné $(E, \leqslant)$ est un treillis complet si et seulement si toute partie de $E$ possède une borne supérieure et une borne inférieure dans $E$. \\- Soit $a,b \in \R$ avec $a < b$. Montrer que $[a,b]$, muni de l'ordre usuel entre réels, est un treillis complet. \\
- Soit $F$ un ensemble. Montrer que $(\mathcal{P}(F), \subset)$ est un treillis complet.
Exercice 1199. Lemme de Knaster-Tarski
\\ Soit $(E, \leqslant)$ un treillis complet. \\ Soit $f$ une application croissante de $E$ dans $E$. \\ On pose $A = \{x \in E, \;\; x \leqslant f(x)\}$. \\- Montrer que $f(\alpha)$ est un majorant de $A$ avec $\alpha$ la borne supérieur de $A$. \\
- Montrer que $\alpha$ est le plus grand point fixe de $f$. \\
- Montrer également que l'ensemble des points fixes de $f$ possède un minimum.
Exercice
1200. On note $G$ l'ensemble des applications $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0 \; ; \; 1]$ dans $\R$ telles que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. \\
Déterminer \[ \inf_{f \in G} \int_{0}^{1} \lvert f'(x)-f(x)\rvert \; dx \]