Exercices divers
Exercice
1295. Montrer que $A = \Frac{\sqrt[3]{54\sqrt{3}+41\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}+\Frac{\sqrt[3]{54\sqrt{3}-41\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$ est un entier et le calculer.
Exercice 1296. Treillis
\\ On dit qu'un ensemble ordonné $(E, \leqslant)$ est un treillis complet si et seulement si toute partie de $E$ possède une borne supérieure et une borne inférieure dans $E$. \\- Soit $a,b \in \R$ avec $a < b$. Montrer que $[a,b]$, muni de l'ordre usuel entre réels, est un treillis complet. \\
- Soit $F$ un ensemble. Montrer que $(\mathcal{P}(F), \subset)$ est un treillis complet.
Exercice 1297. Lemme de Knaster-Tarski
\\ Soit $(E, \leqslant)$ un treillis complet. \\ Soit $f$ une application croissante de $E$ dans $E$. \\ On pose $A = \{x \in E, \;\; x \leqslant f(x)\}$. \\- Montrer que $f(\alpha)$ est un majorant de $A$ avec $\alpha$ la borne supérieur de $A$. \\
- Montrer que $\alpha$ est le plus grand point fixe de $f$. \\
- Montrer également que l'ensemble des points fixes de $f$ possède un minimum.
Exercice
1298. On note $G$ l'ensemble des applications $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0 \; ; \; 1]$ dans $\R$ telles que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. \\
Déterminer \[ \inf_{f \in G} \int_{0}^{1} \lvert f'(x)-f(x)\rvert \; dx \]
Exercice
1299. Soient $n \in \N^*$ impair, $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.\\
Montrer que $\Prod_{k=1}^{n}\parenthese{\sigma(k)-k}$ est un entier pair.
Exercice
1300. Soient $n \in \N$, tel que $n \geqslant 2$, $(i,j) \in \{1,\ldots,n\}^2$ tel que $i \neq j$, et $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.\\
- Montrer que $\sigma$ et $\tau_{i,j}$ commutent si et seulement si $\{i,j\}$ est stable par $\sigma$.\\
- Soient $n \in \N$, tel que $n \geqslant 3$, et $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ telle que : $\forall \rho \in \mathfrak{S}_n$, $\sigma \circ \rho = \rho \circ \sigma$.\\ Démontrer : $\sigma = \mathrm{id}$.