Rationnels et irrationnels
Exercice
1117. \\
Montrer que $\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice
1118. Montrer que $\Frac{\ln{2}}{\ln{3}}$ est un nombre irrationnel.
Exercice
1119. Montrer que \[ \Frac{\ln{2}+\ln{3}}{\ln{5}+\ln{7}} \notin \Q \]
Exercice
1120. Montrer que pour tout $a,b \in \Z$, $a+b\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice
1121. Soit $x \in \R$. Montrer que : $x \notin \Q \implies x+1 \notin \Q$.
Exercice
1122. \\
- Montrer que $\forall (a,b) \in \Z^2$, $a+b\sqrt{2}=0 \implies a=b=0$. \\
- En déduire que l'écriture $x=a+b\sqrt{2}$ est unique.
Exercice
1123. Montrer que pour tout $(x,y) \in (\Q_+)^2$ tels que $\sqrt{x}$ et $\sqrt{y}$ soient irrationnels, alors $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ est irrationnel.
Exercice
1124. Montrer que si $n$ n'est pas le carré d'un entier alors $\sqrt{n} \notin \Q$.
Exercice
1125. Montrer qu’il existe deux nombres irrationnels $a>0$ et $b>0$ tels que $a^b$ soit rationnel.
Exercice
1126. Soient $n \in \N^{*}$ et $x$ un nombre irrationnel. Montrer que
\[
I = \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)^{1/n} + \left( x - \sqrt{x^2 - 1} \right)^{1/n}
\]
est un nombre irrationnel.