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Exercice 1140. Résoudre dans $\R$ l'équation $\lfloor 2x+1 \rfloor = \lfloor x + 4 \rfloor$.
Exercice 1141. Résoudre sur $\R$ l’équation $\lfloor 3x-2 \rfloor = \lfloor x+1 \rfloor$.
Exercice 1142. \\
  1. Démontrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor x+1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$.\\
  2. Démontrer que pour tout $x \in \R$, pour tout $n \in \Z$, $\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$.
Exercice 1143. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, la fonction $f : x \mapsto \left\lfloor \Frac{x}{n} \right\rfloor - \Frac{\lfloor x \rfloor}{n}$ est $n$-périodique.
Exercice 1144. Soient $x$ et $y$ deux réels. \\
  1. Calculer $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$. \\
  2. Montrer que $\lfloor x+y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  3. Soit $n \in \N^*$, à quelle condition sur $x$ a-t-on $\lfloor nx \rfloor = n \lfloor x \rfloor$ ?
Exercice 1145. Soient deux réels $a$ et $b$. Montrer que \[ \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor \leqslant \lfloor a+b \rfloor \leqslant \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor + 1 \]
Exercice 1146. \\
  1. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor 2x \rfloor - 2 \lfloor x \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  2. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x +\Frac{1}{2} \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor$.
Exercice 1147. Soit $x \in \R$ et $n \in \N^*$. Montrer que \[ \left\lfloor \Frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor = \lfloor x\rfloor \]
Exercice 1148. Montrer que pour tout réels $x,y$ on a \[ \lfloor x \rfloor + \lfloor x +y \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor \]
Exercice 1149. Montrer que $\lfloor \sqrt{x} \rfloor = \lfloor \sqrt{ \lfloor x \rfloor} \rfloor$.
Exercice 1150. Soit $n \geqslant 1$ un entier. \\
  1. Démontrer que $2n \leqslant 2\sqrt{n(n+1)} < 2n+1$. \\
  2. En déduire la valeur de $\lfloor (\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2 \rfloor$.
Exercice 1151. Soit $x$ un nombre réel. Calculer \[ \limn \Frac{1}{n^2}\Sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor \]
Exercice 1152. Soit $n \in \N^{*}$ et \[ x = \sqrt{ n^{2} + \sqrt{ 4n^{2} + \sqrt{ 16n^{2} + \sqrt{ 64n^{2} + 1 } } } }. \] Montrer que $\lfloor x \rfloor = n$.\\ Comment généraliseriez-vous ce résultat ?
Exercice 1153. Montrer que pour tout $n \in \Z$, $\left\lfloor \Frac{n-1}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \Frac{n+2}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \Frac{n+4}{4} \right\rfloor = n$.
Exercice 1154. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\lfloor \sqrt{n^4+2n^3+3n^2+1} \rfloor = n^2+n$. \\
  2. En déduire l'ensemble des entiers $n \in \N^*$ tels que $n^4+2n^3+3n^2+1$ est le carré d'un entier.
Exercice 1155. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[ f(x) = \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor - \left\lfloor x + \Frac{1}{2} \right\rfloor \quad \text{pour tout } x \in \R . \]
  1. Démontrer que $f$ est périodique. \\
  2. Démontrer que $f$ est nulle sur $[0,1[$. \\
  3. En déduire que pour tout $x \in \R$, \[ \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor = \left\lfloor x + \Frac{1}{2} \right\rfloor . \] \\
  4. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \Sum_{k=0}^{n} \left\lfloor \Frac{x + 2^k}{2^{k+1}} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor . \]
Exercice 1156. \\
  1. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = 1_{\Z}(x) - 1$.\\
  2. Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels premiers entre eux. Calculer $\Sum_{k=1}^{q-1} \lfloor \Frac{kp}{q} \rfloor$.
Exercice 1157. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ définie par \[ f(t) = \Sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \Frac{t+k}{n} \right\rfloor . \]
  1. Calculer $f(t)$ pour $0 \leqslant t < 1$. \\
  2. Pour $t \in \R$, exprimer $f(t+1)$ en fonction de $f(t)$ et reconnaître $f$. \\
  3. En déduire tout réel $x$, \[ \Sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \Frac{k}{n} \right\rfloor \]
Exercice 1158. Soit $x$ un nombre réel et $p \geqslant 1$ un entier. \\
  1. Établir l’existence et l’unicité de $q$, $r$ et $\alpha$ vérifiant \[ x = q\cdot p + r + \alpha , \] avec $q \in \Z$, $r \in \{0,1,\dots,p-1\}$ et $\alpha \in [0,1[$. \\
  2. Montrer que \[ \Sum_{k=0}^{p-1} \left\lfloor \Frac{x+k}{p} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor . \]
Exercice 1159. Vérifier que pour tout entier naturel $n$ on a \[ \left\lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor . \]
Exercice 1160. Calculer pour $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n^2} \lfloor \sqrt{k} \rfloor$.
Exercice 1161. Pour $x \in ]0,1]$ on pose $f(x) = x\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$. \\
  1. Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$. \\
  2. Déterminer les points fixes de $f$. \\
  3. Montrer que $f \circ f = f$.
Exercice 1162. Soit $a \leqslant b \in \R$. Etablir \[ \mathrm{Card}([a,b]\cap \Z) = \lfloor b \rfloor + \lfloor 1-a \rfloor \]
Exercice 1163. Soit $x \in \R_+^*$ et $n \in \N^*$. Montrer que \[ \lfloor nx \rfloor \geqslant \Sum_{k=1}^{n} \Frac{\lfloor kx \rfloor}{k} \]