Exercices divers

Exercice 1853. Démontrer que, pour tout $Q \in \mathbb{R}[X]$,\\ \[ \integrale{-1}{1}{Q(t)}{t} = -i \integrale{0}{\pi}{Q(e^{i\theta})e^{i\theta}}{\theta} \]
Exercice 1854. Soit, pour tout $n \in \mathbb{N}^\star$, $I_n=\integrale{0}{1}{x^n\tan x}{x}$. \\ Calculer $\limn I_n$ et $\limn nI_n$.
Exercice 1855. Calculer $\lim_{u\to 0}\integrale{u}{3u}{\Frac{\cos x}{x}}{x}$ \\ et $\lim_{u\to 0^+}\integrale{u}{2u}{\Frac{\sin x}{x^2}}{x}$.
Exercice 1856. Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ de classe $C^1$ telles que \[ \forall x \in \R,\quad \big(f(x)\big)^2 = \integrale{0}{x}{\big(f(t)\big)^2 + \big(f'(t)\big)^2}{t} - x + 1. \]

Exercice 1857. X ENS

\\ Etudier les intégrales $u_n = \integrale{0}{1}{x^ne^{x}}{x}$ puis en déduire que $e$ est irrationnel.
Exercice 1858. On pose pour tout $n\in\N$, \[ a_n=\integrale{0}{1}{t^n\sqrt{1-t^2}}{t}. \]
  1. Calculer $a_0$ et $a_1$. \\
  2. Montrer que la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est monotone puis convergente et calculer sa limite. \\
  3. Montrer que \[ a_{n+2}=\Frac{n+1}{n+4}\,a_n. \]
  4. En déduire un équivalent de $a_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1859. Étudier la suite \[ \left(\integrale{0}{1}{\Frac{t^n}{1+t}}{t}\right)_{n\in\N}. \] On donnera en particulier les deux premiers termes dans son développement asymptotique en échelle de comparaison $\Frac{1}{n^\alpha}$.
Exercice 1860. On suppose que $\pi$ peut être mis sous la forme $\Frac{a}{b}$, avec $a$ et $b$ dans $\N^*$. \\ On pose, pour tout $n\in\N$, \[ P_n(X)=\Frac{X^n(a-bX)^n}{n!}. \]
  1. Montrer que pour tous $k$ et $n$ dans $\N$, $P_n^{(k)}(0)$ et $P_n^{(k)}(\pi)$ sont des entiers. \\
  2. Montrer que \[ I_n=\integrale{0}{\pi}{P_n(t)\sin t}{t}\in\Z. \]
  3. Montrer que $I_n>0$. \\
  4. Trouver une constante $\xi>0$ telle que \[ I_n\leqslant \pi\,\Frac{\xi^n}{n!}. \]
  5. En déduire une contradiction. Qu’a-t-on montré ?
Exercice 1861. Pour tout $x \geqslant 0$ et pour tout $n\in\N^*$, calculer \[ \Sum_{k=0}^{n}(-x)^k. \] En déduire la limite : \[ \limn \Sum_{k=1}^{n}\Frac{(-1)^{k-1}}{k}. \] Calculer de même \[ \Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^n}{2n+1}. \]
Exercice 1862. \\
  1. Calculer : \[ \lim_{x\to 0}\integrale{x}{3x}{\Frac{\cos(t^2)}{\sin t}}{t}. \]
  2. Calculer \[ \lim_{(\varepsilon,M)\to(0^+,+\infty)}\integrale{\varepsilon}{M}{\Frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}}{x}. \]
  3. Tracer la courbe \[ y=\integrale{x}{x^2}{\Frac{1}{\ln t}}{t}. \]
Exercice 1863. Soit $\theta\in\R\backslash\{\pm 1\}$. \\
  1. Factoriser dans $\C[X]$ le polynôme $X^2-2X\cos t+1$, avec $t$ dans $\R$. \\
  2. On pose $f(t)=\ln(1-2\theta\cos t+\theta^2)$. \\
    1. Montrer que $f$ est continue sur $[0,2\pi]$. \\
    2. Calculer $\Sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(\Frac{2k\pi}{n}\right)$. \\
    3. En déduire la valeur de $\integrale{0}{2\pi}{\ln(1-2\theta\cos t+\theta^2)}{t}$.
Exercice 1864. Soit $f: ]0,+\infty[ \to \R$ continue et décroissante. \\
  1. Comparer $f(n)$, $\integrale{n}{n+1}{f(t)}{t}$ et $\integrale{n-1}{n}{f(t)}{t}$. \\
  2. Montrer que la suite $\left(\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^\alpha}\right)_{n\in\N^*}$ est convergente si et seulement si $\alpha > 1$. \\
  3. Déterminer la nature des suites $\left(\Sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k\ln k}\right)_{n\geqslant 2}$ et $\left(\Sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k\ln^2 k}\right)_{n\geqslant 2}$.
Exercice 1865. On pose pour tout $n\in\N$, \[ a_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\cos^n t}{t}. \]
  1. Calculer $a_0$, $a_1$, puis montrer que tous les $a_n$ sont strictement positifs. \\
  2. Déterminer une relation entre $a_{n+2}$ et $a_n$. \\ On pose pour tout $n\in\N$, \[ b_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{t^2\cos^{2n}t}{t}. \]
  3. Montrer que pour tout $n\in\N$, \[ 0 < b_n \le \Frac{\pi^2}{4}\left(a_{2n}-a_{2n+2}\right), \] en comparant la courbe $y=\sin x$ à l’une de ses cordes. \\
  4. Montrer que \[ \lim_{n\to+\infty}\Frac{b_n}{a_{2n}}=0. \]
  5. Montrer les formules suivantes : \[ a_{2n+2}=(2n+2)\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{t\sin t\,\cos^{2n+1}t}{t}, \] \[ \Frac{a_{2n+2}}{n+1}=(2n+1)b_n-(2n+2)b_{n+1}, \] \[ 2\left(\Frac{b_n}{a_{2n}}-\Frac{b_{n+1}}{a_{2n+2}}\right)=\Frac{1}{(n+1)^2}. \]
  6. Montrer que la série \[ \Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{1}{k^2} \] est convergente et calculer sa somme.
Exercice 1866. On pose pour tout $n \in \N$ : \[ I_n = \integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{t}{\cos\!\parenthese{\Frac{nt}{n+1}}}}{t}. \]
  1. Montrer que la suite $(I_n)$ est monotone.\\
  2. Calculer $\limn I_n$.\\
  3. Montrer que lorsque $n \to +\infty$, \[ I_n \sim \Frac{\pi}{2}\ln n. \]