Exercices divers

Exercice 1543. Règle de L'hospital

\\ Soient $f,g : [a,b] \to \R$ deux fonctions dérivables.\\ On suppose que pour tout $x \in [a,b]$, on a $g'(x) \neq 0$.\\
  1. Montrer que $g(a) \neq g(b)$.\\
  2. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que\\ \[ \Frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \Frac{f'(c)}{g'(c)}. \]
Exercice 1544. Soient $a \in ]0,+\infty[$ et $f : [0,a] \to \R$ de classe $C^{1}$ telle que $f(0)=0$. Montrer qu'il existe $c \in ]0,a]$ tel que \[ f'(c)=\Frac{2f(a)+a f'(a)}{3a}. \]
Exercice 1545. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction de classe $C^1$.\\ On suppose $f(0)=0$ et pour tout $x \in [0,1]$, $f'(x) > 0$.\\
  1. Montrer qu'il existe $m > 0$ tel que\\ \[ \forall x \in [0,1],\; f(x) \geqslant m x. \]
  2. Le résultat précédent est il encore vrai si l'on remplace l'hypothèse $f$ de classe $C^1$ par $f$ dérivable ?
Exercice 1546. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $[a,b] \to \R$ continues. On pose pour $t \in \R$, \[ h(t) = \underset{x \in [a,b]}{\sup} \{f(x)+tg(x)\} \] Montrer que $h$ est Lipschitzienne.
Exercice 1547. À l’aide du théorème des accroissements finis déterminer\\ \[ \lim_{x \to +\infty} \Bigl((x+1)\,e^{1/(x+1)} - x\,e^{1/x}\Bigr). \]
Exercice 1548. Soit $f : \R^+ \to \R$ de classe $\C^2$ telle que $f'(0)=0$. \\ Montrer qu'il existe $g : \R^+ \to \R$ de classe $\C^1$ telle que \\ $\forall x \in \R^+,\, f(x)=g(x^2)$.
Exercice 1549. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$.\\ On suppose que les fonctions $f$ et $f''$ sont bornées sur $\mathbb{R}$.\\ Pour toute fonction bornée $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, on note $\|g\|_{\infty} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |g(x)|$.\\
  1. Montrer que la fonction $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.\\
  2. Donner une majoration de $\|f'\|_{\infty}$ en fonction seulement de $\|f\|_{\infty}$ et $\|f''\|_{\infty}$.

Exercice 1550. Théorème de Darboux

\\ Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I \to \R$ dérivable sur $I$. Montrer que $f'(I)$ est un intervalle de $\R$. Pour cela, soient $(a,b)\in I^{2}$ tels que $a < b$ et $f'(a) < f'(b)$, et soit $c \in ]f'(a)\,;\,f'(b)[$. On pourra considérer l'application \[ g : [a,b] \to \R,\quad g(x)=f(x)-cx. \]
Exercice 1551. Soit $f$ de classe $C^2$ sur $\R$ avec $f$ et $f''$ bornées.\\
  1. Montrer que $f'$ est bornée sur $\R$.\\
  2. On pose $M_i = \sup_{x \in \R} | f^{(i)}(x) |$.\\ Montrer que $M_1^2 \leqslant 2 M_0 M_2$.\\
On appliquera la formule de Taylor Lagrange entre $x_0$ et $x_0 + h$ et entre $x_0$ et $x_0 - h$.
Exercice 1552. Montrer que\\ \[ \forall x > 0,\;\Frac{1}{1+x} < \ln(1+x) - \ln(x) < \Frac{1}{x}. \]\\ En déduire, pour $k \in \N \setminus \{0,1\}$,\\ \[ \lim_{n \to +\infty} \Sum_{p=n+1}^{kn} \Frac{1}{p}. \]

Exercice 1553. X MP

\\ Soit $f : ]0,1] \to \R$ dérivable. On suppose de $f(x) \to \ell$ et $x f'(x) \to \ell'$ quand $x \to 0$.\\ Que dire de $\ell'$ ?
Exercice 1554. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré impair et $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^\infty$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, on ait $|f^{(n)}(x)| \leqslant |P(x)|$. \\ Montrer que la fonction $f$ est nulle.

Exercice 1555. X PC

\\ Soit $f \in C^{2}(\R^{+},\R)$ telle que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = a \in \R$.\\
  1. Si $f''$ est bornée, que dire de $f'(x)$ quand $x \to +\infty$ ?\\
  2. Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du 1 ?\\

Exercice 1556. X-ENS

\\ Soit $f : [0,+\infty[ \to \R$ une fonction de classe $C^{\infty}$.\\ On définit $g : [0,+\infty[ \to \R$ par \[ g(x)= \begin{cases} \Frac{f(x)-f(0)}{x} & x > 0,\\ f'(0) & x = 0. \end{cases} \] Montrer que la fonction $g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $[0,+\infty[$.
Exercice 1557. Soit $f : \R \to \R$ deux fois dérivable sur $\R$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées sur $\R$. \\ On note $M_0 = \sup_{x \in \R} |f(x)|$ et $M_2 = \sup_{x \in \R} |f''(x)|$. \\
  1. Montrer que pour tout $a \in \R_+^*$ et pour tout $x \in \R$, on a \[ |f'(x)| \leqslant \Frac{M_0}{a} + \Frac{1}{2} M_2 a. \]
  2. En déduire que $f'$ est bornée sur $\R$ et que, en notant $M_1 = \sup_{x \in \R} |f'(x)|$, on a \[ M_1 \leqslant \sqrt{2 M_0 M_2}. \]