Exercices divers

Exercice 1320. Déterminer l'unique primitive de $\arcsin$ sur $[-1,1]$ qui s'annule en $0$.
Exercice 1321. Calculer $\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\cos^6{x}}{x}$.
Exercice 1322. Calculer $\displaystyle\int \cos^4 t \sin^2 t \, dt$.
Exercice 1323. Déterminer $\integrale{}{}{\Frac{t}{1+t^4}}{t}$
Exercice 1324. Calculer la primitive $\integrale{}{}{x^2e^{\frac{x}{2}}}{x}$.
Exercice 1325. Pour tout $(p,q) \in \N^2$, calculer $\integrale{0}{2\pi}{\cos(px)\cos(qx)}{x}$.
Exercice 1326. Calculer $I = \integrale{0}{\pi/2}{\ln(\sin{x})}{x}$
Exercice 1327. Déterminer une primitive de $f(t) = \Frac{e^t+1}{e^t+e^{-t}}$.
Exercice 1328. Déterminer une primitive sur $]-1,1[$ de la fonction $x \mapsto e^{\mathrm{Arcsin}(x)}$.

Exercice 1329. Oral Centrale

\\ Calculer \[ \integrale{0}{\sqrt{3}}{\arcsin\parenthese{\Frac{2t}{1+t^2}}}{t} \]
Exercice 1330. Calculer, pour tout $(n,p) \in \N^{2}$, \[ I_{n,p}=\integrale{0}{\pi/2}{\cos^{2n}x\;\cos(2px)}{x}. \]
Exercice 1331. Calculer $\integrale{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{1}{4+\sin{t}}}{t}$.

Exercice 1332. Oral Centrale

\\
  1. Soit $f \in \mathcal{C}([0,1],\R)$. Montrer que \[ \integrale{0}{\pi}{tf(\sin{t})}{t} = \ps{2}\integrale{0}{\pi}{f(\sin{t})}{t} \]
  2. En déduire la valeur de \[ I_n = \integrale{0}{\pi}{\Frac{x\sin^{2n}(x)}{\sin^{2n}(x)+\cos^{2n}(x)}}{x} \]

Exercice 1333. Oral CCP

\\ Pour $a,b \in \R$ tels que $ab > 0$, on considère \[ I(a,b) = \integrale{a}{b}{ \Frac{1-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}}}{x} \]
  1. Calculer $I(-b,-a)$, $I(1/a,1/b)$ et $I(1/a,a)$ en fonction de $I(a,b)$. \\
  2. Pour $a,b > 1$, calculer $I(a,b)$ via le changement de variable $v = x+\Frac{1}{x}$ puis $v = \Frac{1}{t}$. \\
  3. Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout $a,b$ tels que $ab > 0$.