Calcul de primitives

Exercice 1308. Calcul simple n°1

1. $\integrale{}{}{te^{t^2}}{t}$ \\
2. $\integrale{}{}{\Frac{\ln{t}}{t}}{t}$ \\
3. $\integrale{}{}{\Frac{1}{t\ln{t}}}{t}$.

Exercice 1309. Calcul simple n°2

1. $\integrale{}{}{\cos{t}\sin{t}}{t}$ \\
2. $\integrale{}{}{\tan{t}}{t}$ \\
3. $\integrale{}{}{\cos^3{t}}{t}$

Exercice 1310. Utilisation des complexes

1. $\integrale{}{}{\Frac{1}{it+1}}{t}$ \\
2. $\integrale{}{}{e^t\cos{t}}{t}$ \\
3. $\integrale{}{}{t\sin{t}e^t}{t}$

Exercice 1311. Règles de Bioches

1. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{\sin^3{x}}{\cos^2{x}}}{x}$. \\
2. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{1}{\cos{x}}}{x}$. \\
3. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{1}{3+\cos^2{x}}}{x}$.

Exercice 1312. Règles de Bioches n°2

1. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{\sin^3{x}}{\cos^{8}{x}}}{x}$. \\
2. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{\cos^3{x}}{(2+\sin{x})^2}}{x}$. \\
3. Calculer l'intégrale $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\Frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}}{x}$. \\
4. Calculer l'intégrale $\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{1}{3+\cos{x}}}{x}$.

Exercice 1313. Linéarisation

1. $\integrale{}{}{\cos^4{x}}{x}$. \\
2. $\integrale{}{}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}{x}$. \\
3. $\integrale{}{}{\sin^2{x}\cos^2{x}}{x}$.

Exercice 1314. Primitives en $\sh$ et $\ch$

1. $\integrale{}{}{\sh^4{x}}{x}$ \\
2. $\integrale{}{}{\ch{x}\ch{3x}}{x}$ \\
3. $\integrale{}{}{\Frac{1}{\sh{x}\ch^3{x}}}{x}$.

Exercice 1315. Changements de variables

1. $\integrale{}{}{\Frac{3+\ln{x}}{(4+\ln{x})^2}}{x}$ \\
2. $\integrale{}{}{\Frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}}{x}$ \\
3. $\integrale{}{}{\sqrt{x^2\sqrt{x}+x}}{x}$

Exercice 1316. IPP et changement de variables

1. $\integrale{}{}{\Frac{\arcsin(\sqrt{x})}{(1-x)^{\frac{3}{2}}}}{x}$ \\
2. $\integrale{}{}{\Frac{\arctan(x)}{x^2}}{x}$ \\
3. $\integrale{}{}{\Frac{\arctan{x}}{x^3}}{x}$.

1. $\integrale{1/a}{a}{\Frac{\arctan{x}}{x}}{x}$ pour $a > 1$. \\
2. $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\ln(1+\tan{x})}{x}$ \\
3. $\integrale{0}{1}{\Frac{\ln(1+x)}{1+x^2}}{x}$ \\
4. $\integrale{0}{1}{\Frac{\arctan{x}}{1+x}}{x}$

1. $\displaystyle \int \Frac{1}{x}\,\sqrt{\Frac{1-x}{1+x}}\;dx$.\\
2. $\displaystyle \int \Frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}\;dx$.\\
3. $\displaystyle \int \Frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}\;$.\\

Exercice 1319. Avec radicaux

1. Calculer une primitive de $\displaystyle \int \Frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}$ en indiquant l’ensemble de validité.\\
2. Calculer une primitive de $\int \Frac{dx}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x^2}}$ et indiquer l’ensemble de validité.