Sommes et complexes

Exercice 1018. \\ Soient $n \in \N$ et $\theta \in \R$. Calculer les sommes \[ C = \Sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta) \quad et \quad S = \sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta) \]
Exercice 1019. Soit $n \in \N$. Soit $\theta \in ]0,2\pi[$. Calculer \[ S = \Sum_{k=0}^{n} \cos^2(k\theta) \]

Exercice 1020. Adapté Oral X

Montrer que \[ \forall n \in \N^*, \quad \Sum_{k=0}^{n-1} \cos\parenthese{\Frac{(2k+1)\pi}{2n+1}} = \Frac{1}{2} \]
Exercice 1021. Pour $n \in \N$ et $(a,b) \in \R^2$, calculer \[ C_n = \Sum_{k=0}^{n} \cos(a+kb) \quad et \quad S_n = \Sum_{k=0}^{n} \sin(a+kb) \]
Exercice 1022. Calculer pour tout $\theta \in \R$ et $n \in \N$, \[ S_n = \Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos{k\theta} \quad et \quad T_n = \Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\sin(k\theta) \]
Exercice 1023. Calculer $S_n = \Sum_{k=1}^{n-1} \sin\parenthese{\Frac{k\pi}{n}}$ et en déduire $\limn S_n$.
Exercice 1024. Résoudre, lorsqu'elle a un sens, l'équation $\Sum_{k=0}^{n} \Frac{\cos(kx)}{\cos^{k}(x)} = 0$.
Exercice 1025. Soit $\theta \in \R$. \\
  1. Linéariser $\cos^3(\theta)$. \\
  2. En déduire la valeur de $\Sum_{k=0}^{n}(-1)^k \Frac{\cos^3(3^k x)}{3^k}$.
Exercice 1026. Linéariser $\sin^{n}(\theta)$ pour $n \in \N^*$.

Exercice 1027. Oral X PC

\\ Montrer que pour tout $n \in \N^*$, \[ \sum_{k=1}^{n} \abs{\cos(k)} \geqslant \Frac{n}{4} \]

Exercice 1028. X PC

\\ Montrer que, pour tout $n \in \N$, on a\\ \[ \Sum_{k=0}^{n-1} \abs{\cos(k)} \geqslant \Frac{2}{5}n. \]
Exercice 1029. Soit $n \in \N^*$ et $\theta \in \R$. \\
  1. Etablir $\Sum_{k=n+1}^{2n} \binom{2n}{k} e^{2i(n-k)\theta} = \Sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{k} e^{-2i(n-k)\theta}$. \\
  2. Montrer que $\cos^{2n}(\theta) = \Frac{1}{2^{2n}}\parenthese{\binom{2n}{n}+2\Sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{k}\cos(2(n-k)\theta)}$.
Exercice 1030. Soit $n \in \N^*$. Calculer les trois sommes \[ A_n = \Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \equiv 0 \modulo{3}}} \binom{n}{k}, \quad B_n = \Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \equiv 1 \modulo{3}}} \binom{n}{k}, \quad C_n = \Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \equiv 2 \modulo{3}}} \binom{n}{k} \]
Exercice 1031. Calculer pour $n \in \N$ \[ S_n = \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{2n}{2k}(-1)^{k}2^{k} \]
Exercice 1032. Montrer que $\Sum_{k=0}^{3n-1} (-1)^k \displaystyle\binom{2n}{2k+1}3^k = 0$.

Exercice 1033. Noyaux de Dirichlet et de Fejér

\\ Pour $x\in\R$, $n\in\N$ et $N\in\N$, calculer \[ D_n(x)=\sum_{k=-n}^{n} e^{ikx}, \quad F_N(x)=\frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^{N} D_n(x). \]
Exercice 1034. Calculer $\Sum_{k=1}^{n-1} k \sin\parenthese{\Frac{2k\pi}{n}}$.
Exercice 1035. Soit $q \in \R$. Calculer les sommes \[ A = \Sum_{k=1}^{n} q^k \cos(kx) \quad et \quad B = \Sum_{k=1}^{n} q^k \sin(kx) \]
Exercice 1036.
  1. Soient $n \geqslant 1$ et $\alpha \notin \ps{2} + \pi\Z$.\\ Montrer que $\Frac{\sin(n\alpha)}{\cos^{n}(\alpha)} = \Sum_{0 \leqslant 2k+1 \leqslant n} (-1)^k \binom{n}{2k+1}\tan^{2k+1}(\alpha)$. \\
  2. Pour $p \geqslant 1$, résoudre les équations suivantes d'inconnue $x \in \R$ : \[ \Sum_{k=0}^{p}(-1)^{k}\binom{2p+1}{2k+1}x^{2k} = 0 \quad \Sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k\binom{2p}{2k+1}x^{2k} = 0 \]
Exercice 1037. Soit $n \in \N^*$. On veut calculer le produit \[ S_n = \Prod_{k=1}^{n-1} \sin\parenthese{\Frac{k\pi}{2n}} \] On pose $R_n$ et $T_n$ les deux produits suivants \[ R_n = \Prod_{k=1}^{2n-1} \sin\parenthese{\Frac{k\pi}{2n}} \quad et \quad T_n = \Prod_{k=n+1}^{2n-1} \sin\parenthese{\Frac{k\pi}{2n}} \]
  1. Montrer que $S_n = T_n$ puis en déduire que $S_n = \sqrt{R_n}$. \\
    1. Déterminer les solutions de l'équation $(z+1)^{2n}-1=0$ pour $z \in \C$. On notera $z_k$ les solutions non nulles trouvées. \\
    2. Ecrire, pour tout $k$ $z_k$ sous forme exponentielle. \\
    3. On note $U_n= \Prod_{k=1}^{2n-1} z_k$. \\ Montrer que $U_n= -2^{2n-1}R_n$. \\
    4. Montrer que $U_n = -2n$. \\
    5. En déduire que $S_n = \Frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}$.