Exercices divers

Exercice 1082. \\
  1. Soit $\theta \in \R$. Déterminer une expression de $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$. \\
  2. Montrer que $\cos\ps{9}$ est racine d'une équation de degré $3$ à coefficients entiers.\\
  3. Montrer que $\cos\ps{9}$ est irrationnel.
Exercice 1083. Est-il vrai que $\U = \displaystyle \bigcup_{n \in \N^*} \U_n $ ?

Exercice 1084. Oral Centrale (inégalité triangulaire généralisée)

\\ Soit $n \in \N$. Montrer que pour tout complexes $(z_1,\hdots,z_n) \in (\C^*)^n$, \[ \abs{\Sum_{k=1}^{n}z_k} = \Sum_{k=1}^{n} \abs{z_k} \iff \exist \theta \in ]-\pi,\pi[, \;\; \forall k \in \llbracket1,n \rrbracket, \;\; z_k = \abs{z_k}e^{i\theta} \]
Exercice 1085. Soit $f : \C\backslash\{2\} \to \C$ telle que $f(z) = \Frac{z}{z-2}$. \\ Trouver $p \in \C$ tel que $f$ induise une bijection $\varphi : \C\backslash\{2\} \to \C\backslash \{p\}$, et exprimer la réciproque $\varphi^{-1}$.
Exercice 1086. Montrer que $f : z \mapsto -z \Frac{1-\bar{z}}{1-z}$ est une involution de $\mathscr{D}_{O, 1}$.
Exercice 1087. Soit $f : \C \to \C$ définie par $f(z) = \Frac{z+\abs{z}}{2}$. \\ Déterminer les valeurs prises par $f$.
Exercice 1088. Déterminer l'image par l'application $f : z \mapsto \Frac{z+1}{z-1}$ du quart de plan $P = \{z \in \C, \;\; \Re(z) > 0, \;\; \Im(z) > 0 \}$.
Exercice 1089. Soient $P = \{z \in \C / \mathrm{Im}\,(z) > 0\}$, $D = \{ z \in \C / \abs{z} < 1\}$ et $f : \C \backslash \{i\} \to \C$ définie par \[ f(z) = \Frac{z-i}{z+i} \]
  1. Montrer que $f(P) \subset D$.\\
  2. Montrer que $f$ est bijective de $P$ dans $D$.
Exercice 1090. Soit $\omega \in \C \backslash \U$. Démontrer que l'application $f_{\omega} : \U \to \U$ définie par \[ \forall z \in \U, \;\; f_{\omega}(z) = \Frac{z+\omega}{\bar{\omega}z+1} \] est une bijection dont on précisera la bijection réciproque.
Exercice 1091. \\
  1. On pose $A = \{ n^2+m^2, \;\; (n,m) \in \Z^2 \}$. \\ Montrer que $A$ est stable par produit. \\
  2. On pose $A' = \{ n^2+m^2+p^2, \;\; (n,m,p) \in \Z^3 \}$. \\ Montrer que $15 \notin A'$ et que $A'$ n'est pas stable par produit.
Exercice 1092. Déterminer $a,b,c,d \in \C$ tels que, pour tout $z \in \C$, $az+b = (cz+d)\bar{z}$.
Exercice 1093. Montrer que $\{a^2-ab+b^2,\;\; (a,b) \in \Z^2\}$ est stable par produit. \\ Considérer le nombre $j = -\Frac{1}{2}+i\Frac{\sqrt{3}}{2}$.
Exercice 1094. Soit $m \in \N$. Calculer $\integrale{0}{\pi}{\sin^{2m}(t)\cos(2mt)}{t}$.
Exercice 1095. Montrer que pour tout $z \in \C$, \[ \parenthese{1+\Frac{z}{n}}^{n} \to \exp(z) \]
Exercice 1096. Pour tout $z \in \C$, on pose $\ch{z} = \Frac{1}{2}(e^z+e^{-z})$, $\sh{z} = \Frac{1}{2}(e^z-e^{-z})$ et $\th{z} = \Frac{\sh{z}}{\ch{z}}$. \\
  1. Pour quels $z \in \C$ $\th{z}$ existe ? \\
  2. Résoudre dans $\C$ l'équation $\th{z} = 0$. \\
  3. Résoudre dans $\C$ le système $\begin{cases} \abs{\Im{z}} < \ps{2} \\ \abs{\th{z}} < 1 \end{cases}$. \\
  4. Montrer que $\th$ réalise une bijection de $\Delta =\left\{z \in \C, \; \abs{\Im{z}} < \ps{4} \right\}$ sur $U = \{z \in \C, \; \abs{z} < 1 \}$.
Exercice 1097. Soient $z_1, \hdots, z_n$ des nombres complexes tels que $\abs{z_1} + \abs{z_2} + \hdots + \abs{z_n} = 1$. Montrer qu'il existe un sous-ensemble $S$ de $\{z_1,\hdots,z_n\}$ tel que $\abs{\Sum_{z \in S} z} \geqslant \Frac{1}{4}$.
Exercice 1098. Une partie $A\subset\C$ est dite intégrable lorsque $\forall (z_1,z_2)\in A^2,\;|z_1-z_2|\in\N$. \\ Montrer que pour tout $n\in\N^*$, il existe une partie intégrable formée de $n$ points situés sur un même cercle.
Exercice 1099. Soit $P$ l'ensemble des complexes dont la partie imaginaire est strictement positive. On définit sur $P$ la relation $\mathscr{R}$ par \[ \forall (z,z') \in P^2, \;\; z \mathscr{R} z' \iff \exist \theta \in \R, \; z' = \Frac{z\cos{\theta}+\sin{\theta}}{-z\sin{\theta}+\cos{\theta}} \] Montrer que $\mathscr{R}$ est une relation d'équivalence sur $P$.
Exercice 1100. On cherche toutes les homographies, c'est-à-dire toutes les fonctions non constantes de la forme \[ f(z) = \Frac{az+b}{cz+d} \] où $a,b,c,d,z$ sont des complexes, telles que $f(\U) =\U$. On note $\mathcal{H}$ l'ensemble des homographies vérifiants cette condition. \\
  1. Soit $f \in \mathcal{H}$. Montrer que $\abs{a}^2+\abs{b}^2 = \abs{c}^2+\abs{d}^2$ et $a\bar{b} = c\bar{d}$. \\
  2. En déduire que $(\abs{c},\abs{d}) = (\abs{a},\abs{b})$ ou $(\abs{b},\abs{a})$. \\
  3. Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ tel que pour tout $z \in \C$, $f(z) = e^{i\alpha}\Frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a}}$. \\
  4. Terminer l'exercice.

Exercice 1101. Irrationalité de $\Frac{1}{\pi}\arccos{\Frac{1}{p}}$

On cherche à montrer que si $\cos{\theta} = \Frac{1}{p}$ avec $p$ un entier impair supérieur ou égal à $3$, alors $\Frac{\theta}{\pi}$ est irrationnel. \\ Supposons par l'absurde qu'il existe $m,n$ premiers entre eux tels que $\Frac{\theta}{\pi} = \Frac{m}{n}$. \\
  1. Déterminer explicitement des polynômes $T_n$ et $U_n$ tels que \[ T_n(\cos\theta) = \cos(n \theta) \quad et \quad U_n(\cos\theta) = \sin(n\theta) \]
  2. Montrer que $n = \Sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor} (-1)^{j+1}\displaystyle \binom{n}{2j+1}(p^2-1)^j$ puis que $n$ est pair et $m$ impair. \\
  3. Montrer que $1 = \Sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{4} \rfloor} (-1)^{j+1}\displaystyle \binom{\frac{n}{2}}{2j} (p^2-1)^j$ puis conclure.

Exercice 1102. Oral CCP

\\ Soit $a$ un complexe. \\ On note $E$ l'ensemble des suites à valeurs complexes telles que \[ \forall n \in \N, \;\; u_{n+2} = 2au_{n+1}+4(ia-1)u_n \]avec $(u_0,u_1) \in \C^2$. \\
  1. Prouver que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des suites à valeurs complexes. \\ Déterminer, en le justifiant la dimension de $E$. \\
  2. Dans cette question, on considère la suite de $E$ définie par $u_0=u_1=1$. \\ Exprimer pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $u_n$ en fonction de $n$. \\ On discutera suivant les valeurs de $a$.

Exercice 1103. Entiers de Gauss

On définit l'ensemble $\Z[i]$ comme suit \[ \Z[i] = \{ a+ib, \;\; a \in \Z, b\in \Z \} \] On dit que $z$ est inversible dans $\Z[i]$ s'il existe $z' \in \Z[i]$ tel que $zz'=1$. \\
    1. On suppose que $z$ est inversible dans $\Z[i]$. Déterminer $\abs{z}$. \\
    2. Quels sont les éléments de $\Z[i]$ de module $1$ ? \\
    3. Déterminer alors les éléments inversibles de $\Z[i]$. \\
  2. On veut démontrer que tout produit de nombre entiers s'écrivant comme somme de deux carrés s'écrit comme somme de deux carrés. \\
    1. Montrer que le produit de deux éléments de $\Z[i]$ est un élément de $\Z[i]$. \\
    2. Soient $m$ et $n$ deux entiers somme de deux carrés. $m=a^2+b^2$ et $n=c^2+d^2$ avec $a,b,c,d \in \Z$. Montrer que $mn$ s'écrit comme somme de deux carrés d'entiers et les expliciter en fonction de $a,b,c,d$. \\
    1. Soit $ABCD$ un carré, ses sommets ayant pour affixes $a,b,c,d$. Montrer que si $c$ et $d$ sont dans $\Z[i]$, alors $a$ et $b$ aussi. \\
    2. Soit $ABC$ un triangle équilatéral. Montrer que si $a,b$ et $c$ sont les affixes respectives de $A$, $B$ et $C$ alors on ne peut pas avoir $(a,b,c) \in \Z[i]^3$.