Géométrie et complexes

Exercice 1058. Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. Donner l'équation complexe de la droite $(AB)$.
Exercice 1059. Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $b$. Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ tel que \[ \abs{\Frac{z-a}{z-b}} = 1 \]
Exercice 1060. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que \[ \arg\parenthese{\Frac{z+i}{z-i}} \equiv \ps{4} \modulo{\pi} \]
Exercice 1061. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z+\bar{z} = \abs{z}$.
Exercice 1062. Déterminer l'ensemble des $z \in \C$ tels que les points d'affixes $1+i$, $z+i$ et $1+iz$ soient alignés.
Exercice 1063. Trouver l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ qui sont alignés avec $I$ d'affixe $i$ et $M'$ d'affixe $iz$. \\ Déterminer l'ensemble des points $M'$ correspondant.

Exercice 1064. Transformations du plan

\\ Donner l'écriture complexe des transformations géométriques suivantes : \\
  1. Translation de vecteur d'affixe $2-4i$. \\
  2. Homothétie de centre d'affixe $2i$ et de rapport $\Frac{1}{3}$. \\
  3. Rotation de centre d'affixe $-1$ et d'angle $\Frac{3\pi}{4}$. \\
  4. Similitude directe de centre d'affixe $2$, de rapport $4$ et d'angle $\ps{4}$.
Exercice 1065. Déterminer les caractéristiques géométriques de la similitude $s$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $N$ d'affixe $Z = 2(1+i)z-7-4i$.
Exercice 1066. Caractériser géométriquement la similitude définie par $z \mapsto (-1-\sqrt{3}i)z+2-\sqrt{3}+(2+\sqrt{3})i$.
Exercice 1067. Soit $ABCD$ un quadrilatère. On construit, à l'extérieur du quadrilatère, sur les côtés $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, quatre carrés et on nomme $M$, $N$, $P$, $Q$ leurs centres respectifs. \\ Montrer que $MP = NQ$ et que $(MP) \perp (NQ)$.
Exercice 1068. Trouver l'ensemble des $z \in \C$ tels que : \\
  1. $z$, $z^2$ et $z^3$ forment un triangle rectangle en $z^3$. \\
  2. Les points $j$, $z$ et $jz$ sont alignés. \\
  3. $O$ est l'orthocentre (intersection des hauteurs) du triangle formé par les points d'affixes $z$, $z^2$ et $z^3$.
Exercice 1069. Quelle est l'image du cercle unité par l'application $z \mapsto \Frac{1}{1-z}$ ?
Exercice 1070. \\
  1. Déterminer l'expression complexe de la rotation de centre $i-2$ et d'angle $\ps{3}$. \\
  2. Soit $r$ la rotation de centre $i$ et d'angle $\ps{4}$ et $r'$ la rotation de centre $1$ et d'angle $\ps{4}$. \\ Déterminer $r' \circ r$.
Exercice 1071. \\
  1. Montrer qu'un triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+jb+j^2c=0$. \\
  2. En déduire qu'un triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si $a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)=0$.
Exercice 1072. Soit $ABC$ un triangle du plan. On construit les points $D$, $E$, $F$ extérieurs au triangle $ABC$ tels que les triangles $ABD$, $BCE$, $CAF$ soient rectangles isocèles en $D$, $E$ et $F$ respectivement. \\ Montrer que les triangles $ABC$ et $DEF$ ont le même centre de gravité.
Exercice 1073. Soit $ABC$ un triangle direct. Soit $D$ le centre d'un carré de côté $AB$, de sorte que $D$ et $C$ soient du même côté de la droite $(AB)$ et soit $E$ le centre d'un carré de côté $BC$, de sorte que $E$ et $A$ ne soient pas du même côté de la droite $(BC)$. \\ Déterminer l'angle formé entre la droite $(AC)$ et la droite $(DE)$.
Exercice 1074. Soit $z \in \C^*$ et $\alpha, \beta$ les racines carrées complexes de $z$. Déterminer l'ensemble des $z \in \C^*$ tels que les points d'affixes $z$, $\alpha$, $\beta$ forment un triangle rectangle de sommet le point d'affixe $z$.
Exercice 1075. Soient $z_1, \hdots, z_n$ les affixes respectives des sommets $A_1, \hdots, A_n$ d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de centre $O$. Montrer que \[ \parenthese{ \exists (i,j,k) \in \llbracket 1,n \rrbracket^3 \; : \; z_i + z_j = z_k } \iff 6 \mid n \]
Exercice 1076. Soit $n \in \N$ avec $n \geqslant 3$ et $(\alpha,\beta,\gamma) \in \U^3$ tel que $\alpha^n = \beta^n = \gamma^n = 1$ et $\alpha+\beta+\gamma=0$. Montrer que $n$ est un multiple de $3$.
Exercice 1077. Dans le plan, on donne $n$ points $A_1, \hdots, A_n$. Existe-t-il $n$ points $M_1, \hdots, M_n$ tels que $A_1$ soit le milieu de $[M_1,M_2]$, $A_2$ soit le milieu de $[M_2,M_3]$, $\hdots$, $A_{n-1}$ soit le milieu de $[M_{n-1},M_n]$ et $A_n$ soit le milieu de $[M_n,M_1]$?
Exercice 1078. Soit $ABC$ un triangle équilatéral du plan. On note $R_1, R_2$ et $R_3$ les rotations de centre $A$, $B$ et $C$ d'angle $\ps{3}$. Exprimer $R_1 \circ R_2 \circ R_3$. \\ On pourra supposer que l'origine du repère est le centre du triangle et que les points sont sur $\U$.
Exercice 1079. Soit $ABC$ un triangle direct. On coupe chaque côté en trois parts égales et on construit sur le tiers du milieu un triangle équilatéral extérieur au triangle $ABC$, de sommets respectifs $D$, $E$ et $F$ ($D$ est construit à partir du segment $[AB]$, $E$ à partir de $[BC]$ et $F$ à partir de $[AC]$). \\ Montrer que les deux triangles $ABC$ et $DEF$ ont le même centre de gravité. \\ Montrer que $DEF$ est équilatéral.
Exercice 1080. \\
  1. Interpréter géométriquement la transformation $z \mapsto iz$ de $\C$ dans $\C$. \\
  2. Soient $z_1, z_2$ et $z_3$ trois complexes de module $1$. On note $T$ le triangle de sommets les points $M_i$ d'affixe $z_i$, pour $i=1,2,3$. On note $G$ le centre de gravité de $T$ et $H$ l'orthocentre de $T$. \\
    1. Déterminer l'affixe de $G$. \\
    2. On pose $z_0 = z_1+z_2+z_3$. Montrer que $z_0$ est l'affixe de $H$. \\
  3. Pour un triangle $ABC$, donner une relation liant le centre de gravité $G$, l'orthocentre $H$ et le centre $I$ du cercle circonscrit.

Exercice 1081. Théorème de Pappus

\\
  1. Soit $a$ et $b$ deux points distincts de $\U$. On note $A$, $B$ et $E$ les points d'affixe $a, b$ et $1$. On note $P$ le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(AB)$ et $p$ son affixe. \\ Montrer que $1-p = \Frac{(1-a)(1-b)}{2}$. \\
  2. En déduire le théorème de Pappus : Etant donné un quadrilatère $ABCD$ inscriptible dans un cercle $C$, pour tout point $M$ du cercle $C$, le produit de la distance de $M$ à deux côtés opposés, ou aux deux diagonales est le même, pour chacun des choix des deux paires de côtés opposés.