Polynômes et équations

Exercice 1129. \\
  1. Résoudre dans $\C$ l'équation $(E)$ : $e^{2z}-e^{z}-6 = 0$. \\
  2. Résoudre l'équation $e^z = Z$ d'inconnue $z \in \C$.
Exercice 1130. Résoudre le système dans $\C$ $\begin{cases} x+y = 1+i \\ xy = 2-i \end{cases}$. \\
Exercice 1131. Soit $P$ un polynôme complexe non constant.\\ Existe-t-il $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $P-\lambda$ soit scindé à racines simples ?
Exercice 1132. Résoudre le système suivant dans $\C$, $\begin{cases} uv = 1-8i \\ u^2 + v^2 = -2-16i \end{cases}$.

Exercice 1133. Oral CCP

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  1. Résoudre dans $\C$ l'équation $z^n = e^{i\frac{\pi}{3}}$ pour $n \in \N^*$. \\
  2. Résoudre dans $\C$ l'équation $\parenthese{\Frac{z+1}{z-1}}^n + \parenthese{\Frac{z-1}{z+1}}^n = 1$.
Exercice 1134. Résoudre l'équation $\parenthese{\Frac{z-i}{z+i}}^{n} + \parenthese{\Frac{z+i}{z-i}}^{n} = 2\cos{\theta}$ avec $n \in \N^*$ et $\theta \in ]0,\pi[$.
Exercice 1135. Soit $\alpha \in \R$ et $n \geqslant 2$ un entier. Résoudre l'équation \[ \alpha(\bar{z}+z^n) = i (\bar{z}-z^n) \]
Exercice 1136. Soit $\alpha \in \left]-\ps{2},\ps{2}\right[$. Résoudre dans $\C$ l'équation \[ \parenthese{\Frac{1+iz}{1-iz}}^3 = \Frac{1+i\tan(\alpha)}{1-i\tan(\alpha)} \]
Exercice 1137. Soient $(x,y,z) \in \R^3$ vérifiant $e^{ix}+e^{iy}+e^{iz} = 0$. \\ Montrer que $e^{2ix}+e^{2iy}+e^{2iz} = 0$.
Exercice 1138. Montrer que les solutions de l'équation $1+z+z^2+\hdots+z^{n-1}-nz^{n} = 0$ sont de module inférieur ou égal à $1$.
Exercice 1139. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ non constant et tel que $P(0)=1$.\\ Montrer que :\\ \[ \forall \varepsilon>0,\;\exists z \in \mathbb{C},\; |z| < \varepsilon \;\mathrm{et}\; |P(z)| < 1. \]

Exercice 1140. Polynômes de Tchebychev de première espèce

\\ Montrer que pour tout $n \in \N$, il existe un polynôme $T_n$ tel que \[ \forall \theta \in \R, \cos(n\theta) = T_n(\cos(\theta)) \]

Exercice 1141. Oral CCP (Polynômes de Tchebychev de seconde espèce)

Soit $\theta \in \R$ et $n \in \N$. \\
  1. Calculer $\sin(4\theta)$ sous forme d'un produit de $\sin(\theta)$ par un polynôme en $\cos(\theta)$. \\
  2. Montrer dans le cas général que $\sin((n+1)\theta)$ s'écrit en fonction de $\sin(\theta)$, $\cos(\theta)$ et $n$ sous la forme $\sin((n+1)\theta) = \sin(\theta) U_n(\cos(\theta))$ avec $U_n$ un polynôme.
Exercice 1142. Soit $n \in \N$ et $\theta \in \R$. Etablir \[ \cos(2n\theta) = \Sum_{p=0}^{n} \left[ \binom{2n}{2p}(-1)^p\cos^{2(n-p)}(\theta)\Sum_{j=0}^{p}\binom{p}{j}(-1)^j\cos^{2j}(\theta) \right] \]

Exercice 1143. Oral CCP

\\ Soient $a \in ]0,\pi[$ et $n \in \N^*$. Factoriser dans $\C[X]$ le polynôme \[ X^{2n}-2\cos(na)X^{n} + 1 \]
Exercice 1144. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles.\\ Montrer que le polynôme $P+\overline{P}$ est scindé dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 1145. Soit\\ \[ P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0 \in \mathbb{C}[X]. \] Montrer que si $\xi$ est racine de $P$ alors\\ \[ |\xi|\leqslant 1+\max_{0\leqslant k \leqslant n-1}|a_k|. \]
Exercice 1146. Soit $P=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n \in \mathbb{C}[X]$.\\ On pose\\ \[ M=\sup_{|z|=1}|P(z)|. \] Montrer\\ \[ \forall k \in \{0,\ldots,n\},\; |a_k|\leqslant M. \] On pourra employer des racines de l’unité.
Exercice 1147. Soient $p,q \in \C$ tels que $q \neq 0$. \\ On suppose que les deux racines de $X^2-pX+q^2$ ont le même module. \\ Exprimer le quotient $\Frac{p^2}{q^2}$ en fonction des deux racines, et en déduire que $\Frac{p}{q} \in \R$.

Exercice 1148. Oral Centrale-Supélec

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  1. Trouver trois éléments $a,b,c \in \C$ non tous réels, tels que $a+b+c$, $a^2+b^2+c^2$ et $a^3+b^3+c^3$ soient trois réels. \\
  2. Montrer que si $a,b,c$ sont trois éléments de $\C$ de modules différents tels que $a+b+c \in \R$, $a^2+b^2+c^2 \in \R$ et $a^3+b^3+c^3 \in \R$, alors $a,b,c$ sont trois réels.

Exercice 1149. Oral Centrale

\\ Soit $P$ un polynôme réel unitaire de degré $n \in \N$. Montrer que $P$ est scindé sur $\R$ si et seulement si pour tout $z \in \C$, \[ \abs{\Im(z)}^n \leqslant \abs{P(z)} \]
Exercice 1150. On considère le polynôme $P$ donné par $P(X) = 1+2X+3X^2+\hdots+nX^{n-1}$. Calculer $P(\omega)$ où $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$.
Exercice 1151. Soit $n \in \N^*$ et $P \in \C[X]$ un polynôme de degré $n$, tel que $P(0)=1$ et $P(1)=0$. \\ On note, pour tout $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, $\omega_k = e^{i\frac{2ik\pi}{n+1}}$. \\
  1. Montrer que $P(\omega_k) = n+1$. \\
  2. En déduire que $\displaystyle \sup_{\abs{z}=1} \abs{P(z)} \geqslant 1+\Frac{1}{n}$.
Exercice 1152. Soit $\alpha \in \R^*$ et $n \geqslant 3$ un entier. Montrer que toute racine $z \in \C \backslash \R$ de l'équation $z^n+\alpha z + 1 = 0$ vérifie \[ \abs{z} \geqslant \parenthese{\Frac{1}{n-1}}^{\frac{1}{n}} \]

Exercice 1153. Oral ENS PC

\\ Soit $P \in \C[X]$ non constant. On pose $f : z \mapsto \abs{P(z)}$. \\ Montrer que \[ f(z) \xrightarrow[\abs{z} \to +\infty]{}+\infty \]