Exercices divers

Exercice 1379. Soit $f : \R \to \R$ une application deux fois dérivable telle que \\ $\forall x \in \R,\; f''(x)-2f'(x)+f(x)=2e^x$. \\
  1. Montrer que si $f'\geqslant 0$, alors $f\geqslant 0$. \\
  2. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 1380. Soit $y : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $y' = e^{-y} - e^{-3y} + e^{-5y}$.\\ Déterminer $\limplus y(x)$ et $\limplus y'(x)$.\\
Exercice 1381. Soit $a \in ]0,+\infty[$ et $f : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ dérivable telle que $f'(x)+a f(x)$ soit bornée sur $[0,+\infty[$.\\ Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Exercice 1382. Soit $g$ une fonction continue de $\R$ dans $\R$. \\ On pose $f : x \mapsto \integrale{0}{x}{\sin(x-t)g(t)}{t}$. \\
  1. Montrer que $f$ est dérivable et que $f'(x) = \integrale{0}{x}{\cos(x-t)g(t)}{t}$. \\
  2. En déduire que $f$ est solution de l'équation différentielle $y''+y=g(x)$. \\
  3. Conclure en résolvant l'équation différentielle.
Exercice 1383. Soit $q$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que \[ \exist A \in \R, \; \forall x \geqslant A, \;\; q(x) > 0 \quad \mathrm{et} \quad q'(x) > 0 \] Montrer que les solutions de $y''+q(x)y=0$ sont bornées au voisinage de $+\infty$. \\ Considérer $z(x)=y^2(x)+\Frac{y'(x)^2}{q(x)}$ pour $x \geqslant A$.
Exercice 1384. Soit $a \in \R^*$. Soit $f$ continue sur $\R$ périodique de période $T \neq 0$. Montrer que l'équation différentielle $y'+ay = f$ admet une et une seule solution sur $\R$, de période $T$.
Exercice 1385. Soit $a,b \in \mathcal{C}(\R,\R)$ et $x_0 \in \R$. Montrer que les tangentes en $x_0$ aux solutions de l'équation différentielle $y'+a(x)y=b(x)$ sont soit toutes parallèles, soit toutes concourantes.
Exercice 1386. Déterminer les morphismes de groupe dérivables de $(\R,+) \to (\C^*, \times)$.
Exercice 1387. Soit $a,b \in \mathcal{C}(\R_+,\R)$ et $y,z \in \mathcal{D}(\R_+,\R)$ tels que \[ \begin{cases} y(0)= z(0) =0 \\ \forall x \in \R, y'(x)=a(x)y(x)+b(x) \\ \forall x \in \R z'(x) \leqslant a(x)z(x)+b(x) \end{cases} \] Montrer que pour tout $x \in \R_+$, $z(x) \leqslant y(x)$. \\ On pourra poser $w = z-y$ et étudier la fonction $f : x\mapsto \Frac{w(x)}{\exp(\int_{0}^{x}a(t)\mathrm{d}t)}$.
Exercice 1388. \\
  1. Déterminer toutes les fonctions $f : \R \to \R$ dérivables telles que \[ \forall x,y \in \R, \quad f(x+y)=f(x)f(y) \]
  2. En déduire l'ensemble des fonctions $f : \R^{*+} \to \R$ dérivables telles que \[ \forall x,y \in \R^{*+}, \quad f(xy)=f(x)f(y) \]
Exercice 1389. Trouver toutes les applications $f:\R\to\R$ deux fois dérivables sur $\R$ telles que \\ \[ f f''-f'^2=1 \]
Exercice 1390. Soit $a,b \in \mathcal{C}(\R,\R)$. On suppose que $a \geqslant 1$ sur $\R$ et $\limplus b(x) = 0$. \\ Montrer que toute solution de l'équation différentielle $y'+a(x)y=b(x)$ vérifie $\limplus y(x) =0$.
Exercice 1391. En notant $\alpha = \sqrt{\Frac{\pi}{2}}$, résoudre sur $[a,+\infty[$ le problème de Cauchy \[ \begin{cases} ty''-y'+4t^3y = 0 \\ (y(\alpha),y'(\alpha))=(1,1) \end{cases} \] On pourra effectuer le changement de fonction inconnue $z(t) = y(\sqrt{t})$.
Exercice 1392. Déterminer toutes les fonctions $f \in \mathcal{C}^{0}(\R,\R)$ telles que \[ \forall s,t \in \R, \quad f(st)=sf(t)+tf(s) \] On pourra d'abord supposer qu'une solution $f$ est dérivable, puis montrer que c'est effectivement le cas en intégrant $f$ entre $0$ et $st$.

Exercice 1393. Oral Mines-Pont PC

\\ Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ dérivables en $0$ qui vérifie pour tout $x,y \in \R$, \[ f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x) \]
Exercice 1394. Soit $f \in \mathcal{C}^2(\R)$. Montrer qu'il existe au plus une application $g \in \mathcal{C}^2(\R)$ telle que \[ \forall x, g(x) = \integrale{0}{x}{(x-t)g(t)}{t}+f(x) \] Appliquer alors avec $f=\cos$

Exercice 1395. Oral X

Trouver toutes les fonctions continues de $\R$ dans $\R$ telles que pour tout $(x,y) \in \R^2$ on ait \[ \integrale{x-y}{x+y}{f(t)}{t} = f(x)f(y) \]
Exercice 1396. Déterminer les applications $f : \R \to \R$, continues, telles que, pour tout $x \in \R$, \[ f(x)=x^2+\integrale{0}{x}{tf(x-t)}{t} \]
Exercice 1397. On considère l'équation $y'=y+x^2y^2$ pour laquelle on admet le théorème suiant :\\ pour tout $(y_0,x_0) \in \R^2$, il existe un unique couple $(I,f)$ appelé solution maximale tel que $f$ soit solution de l'équation sur $I$ avec $f(x_0)=y_0$ et $f$ n'admet pas de prolongement (qui reste solution) à un intervalle qui contient strictement $I$. \\ Donner l'expression des solutions maximales de cette équation.

Exercice 1398. Fonctions de Bessel de première espèce

\\ On pose l'équation différentielle non-linéaire \[ (E_n) : \quad x^2y''+xy'+(x^2-n^2)y = 0\] Soit la suite de fonction $(J_n) \in \mathcal{F}(\R)^{\N}$ telle que $J_0$ soit solution de $(E_0)$ et \[ J_{n+1}(x) = \Frac{nJ_n(x)}{x}-J_n'(x) \]
  1. Montrer que $J_n$ est solution de $(E_n)$. \\
  2. Montrer que $J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x) = \Frac{2n}{x}J_n(x)$. \\
  3. En déduire que $J_{n+1}-J_{n-1} = -2J_n'$ puis $\Frac{d}{dx}(x^nJ_n(x)) = x^n J_{n-1}(x)$. \\
  4. Calculer $J_n(0)(=0)$ pour $n \neq 0$.
Exercice 1399. On cherche à déterminer les applications $f : \R \to \R$ continues, non identiquement nulles, s'annulant en au moins un point telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \quad f(x+y) +f(x-y) = 2f(x)f(y) \]
  1. Soit $f$ une solution. Montrer que $f$ est paire, puis qu'elle admet une primitive $F$ impaire. \\
  2. Montrer qu'il existe $x_0 \in \R$ tel que $\forall y \in \R$, $f(y) = \Frac{F(x_0+y)-F(x_0-y)}{2F(x_0)}$. \\ En déduire que $f$ est $\mathcal{C}^{\infty}$. \\
  3. Montrer qu'il existe $\mu$ tel que $\forall x \in \R$, $F''(x) = \mu F(x)$. \\
  4. Achever la résolution de l'exercice.