Ordre 2
Exercice 1355. Résolution simple n°1
\\ Résoudre l’équation différentielle sur $]0,+\infty[$ : \[ y''+2y'+y=\Frac{e^{-x}}{x}. \]Exercice 1356. Résolution simple n°2
\\ Résoudre l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 suivante : \\ \[ (E) \quad y'' - 3y' + 2y = x e^x, \] d’inconnue $y : \R \longrightarrow \R$.Exercice 1357. Raccordement ?
\\- En posant $u=x^2y$, résoudre l'équation \[ x^2y''+4xy'+(2+x^2)y = 0 \] sur $\Rpe$ et sur $\Rme$. \\
- Existe-t-il des solutions de $(1)$ définies sur tout $\R$ ?
Exercice 1358. Oral CCP MP
\\- Déterminer une primitive de $x \mapsto \cos^4{x}$. \\
- Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $y''+y=\cos^3(x)$ en utilisant la méthode de variation des constantes.
Exercice 1359. Changement de variable
\\ Soit $q \in \R_+^*$. \\ Résoudre l'équation différentielle $(E)$ : $(t^2+1)y''+t\,y'-q^2y=0$ à l'aide du changement de variable $t=\sh(x)$.Exercice 1360. Changement de variable n°2
\\ Résoudre l'équation différentielle \[ (E) : \quad x^2y''+xy'-4y+4x^2 = 0 \] en précisant quelles sont les solutions définies sur $\R$ en entier. \\ On pourra utiliser le changement de variable $t = \ln{\abs{x}}$.Exercice 1361. Changement de variable n°3
\\ Résoudre $y'''-3y''+y'-3y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=y''(0)=0$.Exercice 1362. Changement de variable n°4
\\ On considère l'équation $(1-x^2)y''-xy'+y=0$. Intégrer l'équation sur $]-1,1[$ en posant $x = \sin{t}$. Intégrer l'équation sur $]-\infty,1[$ puis sur $]1,+\infty[$. Etudier le problème du recollement.Exercice 1363. Changement de variable n°5
\\- Soient $(a,b) \in \K^2$, $I$ un intervalle de $\R$ tel que $I \subset \R_+^\ast$ ou $I \subset \R_-^\ast$, et $k : I \longrightarrow \K$ continue. Montrer que l’équation différentielle d’Euler \[ (E)\quad x^2 y'' + a x y' + b y = k \] se ramène, par le changement de variable $t=\ln\abs{x}$, à une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.\\
- Exemple : résoudre sur $]0,+\infty[$ l’équation différentielle $(E)\; x^2 y'' + x y' + y = x^2 + x + 1$, d’inconnue $y : ]0,+\infty[ \longrightarrow \R$, supposée deux fois dérivable.\\
Exercice
1364. \\
Résoudre $(E)$ : $f''(x)+f(-x)=x+\cos x$. \\
Exercice 1365. Oral CCP
\\ Soit $\lambda \in \R$. \\- Déterminer les solutions à valeurs réelles de l'équation différentielle \[ y'' -2y' + (1-\lambda)y = 0 \]
- Déterminer une solution à valeurs réelles de l'équation différentielle \[ y''-2y'+(1-\lambda)y = x \]
Exercice 1366. Oral CCP
\\ Déterminer les fonctions réelles $f$ dérivables sur $\R$ telles que \[ \forall x \in \R, f'(x) = f(2-x) \]Exercice 1367. Equation fonctionnelle
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\;\; \integrale{0}{x}{f(t)}{t} = f'(x) + 1 \]Exercice 1368. Equation fonctionnelle n°2
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \longrightarrow \R$ dérivables sur $\R$ telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\;\; f'(x) = \Frac{1}{2}\parenthese{f(x) + f(-x)}\]Exercice 1369. Equation fonctionnelle n°3
\\ Déterminer les fonctions dérivables \(f:\R\to\R\) vérifiant \[ \forall x\in\R,\quad f'(x)=f(2-x). \]Exercice 1370. Equation fonctionnelle n°4
\\ Soit $\lambda \in \R$. Déterminer les applications $f:\R\to\R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que \[ \forall x\in\R,\;\; f'(x)=f(\lambda - x) \]Exercice 1371. Equation fonctionnelle n°5
\\ Trouver toutes les applications $f : ]0,+\infty[ \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\ \[ \forall x \in ]0,+\infty[, \;\; f'(x) = f\!\parenthese{\Frac{1}{4x}} \]Exercice 1372. Equation fonctionnelle n°6
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ dérivables qui vérifie pour tout $x \in \R$, \[ f'(x)+f(-x)=e^{x} \]Exercice 1373. Equation fonctionnelle n°7
Déterminer les applications $f:\R\to\R$, continues et telles que \[ \forall x \in \R,\;\; f(x)+\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,dt=1 \]
Exercice
1374. Déterminer toutes les fonctions $y : \R \to \R$ dérivables telles que \[ \forall x \in \R, \quad y'(x)+y(x) = \integrale{0}{1}{y(t)}{t}\]
Exercice 1375. Oral X
\\ Trouver toutes les applications dérivables $f : \R \longrightarrow \R$ telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\; f'(x) = f(-x) \]Exercice 1376. Oral X
\\ Résoudre $y''+y = \abs{t}$.Exercice 1377. Oral ENS
\\ Déterminer les fonctions $f \in \mathcal{C}^2(\R,\R)$ telles que \[ f'' + \abs{f} = 0, \quad f(0)=0, \quad f'(0)=1 \]Exercice 1378. Utilisation d'une formule de Taylor
\\ On considère le problème de Cauchy \[ \begin{cases} y''+\abs{y} = 0 \\ y(0)=0 \\ y'(0)=0 \end{cases} \] On admet qu'il possède une unique solution définie sur $\R$ que l'on notera $y$. \\- Montrer que pour tout $x \in \R$, $y(x) \leqslant a$. \\
- Déterminer $y$ lorsque $a \leqslant 0$. On suppose dans la suite que $a > 0$. \\
- Montrer que $y$ s'annule en exactement deux points $b_{-} < 0$ et $b_{+} > 0$. \\
- Achever la résolution de l'exercice.