Inégalités de convexité

Exercice 233. $g$ est la fonction définie sur $\Rp$ par $g(x) = \sqrt{x}$ et on note $\Cg$ sa courbe représentative.\\
  1. Rappeler la convexité de la fonction $g$.\\
    1. Déterminer $g'(x)$ pour tout réel de $\Rpe$, puis le nombre dérivé $g'(1)$.\\
    2. En déduire une équation de la tangente à $\Cg$ au point d'abscisse 1.\\
  2. En déduire que pour tout réel $x \in \Rp$, on a $\sqrt{x} \leqslant \Frac{1}{2}x+ \Frac{1}{2}$.
Exercice 234. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = e^{x-2}$. \\
  1. Etudier la convexité de $f$ sur $\R$. \\
  2. En utilisant la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$, montrer que pour tout $x \in \R$, $e^{x-2} \geqslant x-1$. \\
  3. Montrer que $e^{2} \geqslant 3$ sans calcul.
Exercice 235. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3-2x^2$. \\
  1. Etudier la convexité de la fonction $f$. \\
  2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f$ en $-1$. \\
  3. En déduire que pour tout réel $x$ négatif, on a : $x^3-2x^2 \leqslant 7x+4$.
Exercice 236. Soit $g$ la fonction définie sur $\R \backslash \{1\}$ par $g(x) = \Frac{e^{x}}{1-x}$. \\
  1. Déterminer $g'(x)$, puis montrer que $g''$ a pour expression $g''(x) = \Frac{e^x(x^2-4x+5)}{(1-x)^3}$. \\
  2. En déduire la convexité de $g$ et les abscisses des éventuels points d'inflexion. \\
  3. Montrer que, pour tout $x<1$, $e^x \geqslant -2x^2+x+1$.

Exercice 237. Lycée Parisien

\\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = xe^{-2x+3}$. \\ \\ On note $A$ et $B$ les points d'abscisse $x_A = 0$ et $x_B =1$ sur la courbe. \\ \\
  1. Déterminer une équation de la droite $(AB)$. \\ \\
  2. Montrer que $f''(x)=4(x-1)e^{-2x+3}$. \\ \\
  3. En déduire la convexité de $f$ sur $\R$ et les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe. \\ \\
  4. Déterminer une équation de la tangente $T_1$ à la courbe en $1$. \\ \\
  5. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, $ex \leq xe^{-2x+3} \leq e(2-x)$.
Exercice 238. En étudiant la convexité de la fonction $f$ définie sur $]-\infty,4[$ par $f(x) = -x^3+3x^2-1$ puis en considérant sa tangente en $1$, déterminer le signe de la fonction $g$ définie par $g(x) = -x^3+3x^2-3x+1$.