Ordre 1
Exercice 1334. Equations différentielles simples n°1
\\ Résoudre sur $\R$ les équations différentielles suivantes : \\- $y'+2y=x^2$ \\
- $y'+y=2\sin{x}$ \\
- $y'-y=(x+1)e^x$ \\
- $y'+y=x-e^x+\cos{x}$.
Exercice 1335. Equations différentielles simples n°2
\\ Résoudre les équations différentielles : \\- $y'-2y=e^{3x}$ \\
- $y'-2y=e^{2x}$ \\
- $y'-2y=2+4e^{2x}+2e^{3x}$ \\
- $y'+2y = xe^{-2x}+xe^{3x}$.
Exercice 1336. Variation de la constante n°1
\\ Résoudre les équations différentielles suivantes sur $I$ \\- $y' = y \tan x + \sin x$, $I = \left]-\Frac{\pi}{2}; \Frac{\pi}{2}\right[$.\\
- $x y' - 2y = - \ln x$, $I = ]0 \,;\, +\infty[$.\\
Exercice 1337. Variation de la constante n°2
\\ Résoudre les équations différentielles : \\- $x\ln{x}y'+y=x$ \\
- $x(xy'+y-x)=1$ (solutions complexes). \\
- $y'+y\tan{x}=\Frac{1}{\sin{x}}$ d'inconnue $y \in \mathcal{D}\parenthese{\left]0,\ps{2}\right[,\R}$. \\
- $(1+x)y'+y = 1+\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$.
Exercice 1338. Revenir au premier ordre
\\ Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $xy''-(x+1)y'=0$.Exercice 1339. Avec un raccordement N°1
\\ Résoudre les équations différentielles suivantes sur tout intervalle ouvert $I$ de $\R$ \\- $(x^3-x)y'-(x^2-x+1)y=0$ \\
- $xy'+(1-x)y=e^{2x}$ \\
- $(1-x^2)y'-2xy=x^2$.
Exercice 1340. Avec un raccordement N°2
\\ Résoudre $(1-x^2)y'-2xy=x^2$.Exercice 1341. Avec un raccordement N°3
\\ Intégrer l'équation différentielle $x^2+y^2=2xyy'$.Exercice 1342. Avec un raccordement N°4
\\ Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle \[ ty'(t)+y(t)=-\sin{t}\]Exercice 1343. Avec un raccordement N°5
\\ Montrer que l’équation différentielle \[ 2x\,y'(x)-|y(x)|=x,\qquad y:\R\to\R \;\; dérivable \] n’admet aucune solution sur $\R$.Exercice 1344. Oral CCP
\\ Résoudre sur $]1,+\infty[$ l'équation différentielle \[ y' + \Frac{x}{1-x^2}y = 2x \]Exercice 1345. Oral CCP MP
\\ On considère les deux équations différentielles \[ (1) \quad 2xy'-3y=0 \quad (2) : 2xy'-3y=\sqrt{x} \]- Résoudre $(1)$ sur $\Rpe$. \\
- Résoudre $(2)$ sur $\Rpe$. \\
- L'équation $(2)$ admet-elle des solutions sur $\Rp$ ?
Exercice 1346. Problème de Cauchy
\\ Résoudre \[ \begin{cases} \forall x \in \R^{+*}, \;\; x(x+2)y'+ (x+1)y=x+1 \\ y(0)=3 \end{cases} \]Exercice 1347. Problème de Cauchy n°2
\\- Déterminer la solution sur $\R$ de $y'+y\th{x} =0$ prenant la valeur $1$ en $0$. \\
- Déterminer la solution sur $\R$ de $y'+y\th{x} = x\th{x}$ prenant la valeur $0$ en $0$.
Exercice 1348. Avec des valeurs absolues
\\ Résoudre les équations différentielles suivantes \\- $y'-y=\abs{x}$ sur $\R$. \\
- $\abs{x}y'+(x-1)y=x^3$ sur $\R$.
Exercice 1349. Equation fonctionnelle n°1
\\ Trouver toutes les applications continues $f : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ telles que : \[ \forall x \in [0,+\infty[,\;\; \integrale{0}{x}{\parenthese{x-3t}f(t)}{t} = \Frac{x^{2}}{2} \]Exercice 1350. Equations fonctionnelles n°2
\\- Trouver toutes les applications continues $f : \R \longrightarrow \R$ telles que : \[ \forall x \in \R,\; \integrale{0}{x}{f(t)}{t} = f(x) + x \]
- Trouver toutes les applications continues $f : \R \longrightarrow \R$ telles que \[ \begin{cases} \forall x \in \R,\;\; 2\integrale{0}{1}{f(tx)}{t} = f(x) \\ f(-1)=0 \\ f(1)=1 \end{cases} \]
- Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ dérivables qui vérifient pour tout $x \in \R$, \[ f'(x)+f(x) + \integrale{0}{1}{f(t)}{t} = 0 \]
Exercice
1351. Trouver les fonctions $f : \R \to \R$ continues telles que \[ \forall x \in \R, \quad f(x) - \integrale{0}{x}{tf(t)}{t} = 1 \]
Exercice 1352. Oral X
\\ Soit $f$ une fonction réelle dérivable sur $\R$ telle que $f^2 = f'$. Montrer que $f=0$.
Exercice
1353. Montrer que l’ensemble $S$ des applications $f : ]-\infty, 1[ \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\
\[ \forall x \in ]-\infty, 1[, \;\; x(x-1)f'(x) - (x-2)f(x) = 0\]
est un $\R$-espace vectoriel, et en donner une base et la dimension.\\