Somme d'une série

Exercice 1920. Pour chaque série déterminer sa convergence et sa somme le cas échéant : \\
  • $\Sum \Frac{2^n+1}{3^n}$ \\
  • $\Sum \Frac{1}{2^{2n+4}}$ \\
  • $\Sum \ln\parenthese{\Frac{n+1}{n-1}}$
Exercice 1921. Convergence et somme de la série de terme général $u_n = \ln\parenthese{1+\Frac{(-1)^n}{n}}$ pour $n \geqslant 2$.
Exercice 1922. \\ Montrer que la série $\Sum \Frac{1}{2^n}$ converge et calculer sa somme.
Exercice 1923. Calculer $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{(2n+1)^2}$.
Exercice 1924. Après avoir justifié leur convergence, calculer la somme des séries suivantes :\\
  1. $\Sum_{n\geqslant 0}\Frac{n^3-2n^2+1}{3^n}$.\\
  2. $\Sum_{n\geqslant 0}\Frac{2n^3+n^2+n+3}{n!}\cdot 2^n$.
Exercice 1925. On pose pour $n \geqslant 1$, $u_n = (-1)^n \ln\parenthese{1 + \Frac{1}{n}}$. \\ Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 1} u_n$ converge, puis calculer sa somme.
Exercice 1926. Montrer que pour tout $x\in\R$,\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{n}{2^{n-1}}\cos((n-1)x)=4\cdot \Frac{3-4\cos x+2\cos^2 x}{(5-4\cos x)^2}. \]
Exercice 1927. Calculer $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{\cos(n\theta)}{n}$, pour $\theta\in]0,2\pi[$.

Exercice 1928. CCP

\\ On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $a_n=\Frac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$ et $H_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$.\\
  1. Montrer la convergence de la série de terme général $a_n$.\\
  2. Montrer que $\limn(H_{2n+1}-H_n)=\ln 2$.\\
  3. Trouver $(a,b,c)\in\R^3,\;\forall n \in \N^*,\;a_n=\Frac{a}{n}+\Frac{b}{n+1}+\Frac{c}{2n+1}$.\\
  4. En déduire $\Sum_{n=1}^{+\infty}a_n$.
Exercice 1929. Nature puis somme de la série $\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{1}{n(n+1)(n+2)}$.
Exercice 1930. On donne $\Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{1}{k^2}=\Frac{\pi^2}{6}$.\\ Calculer $\Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{1}{k^2(k+1)^2}$ après en avoir justifié l'existence.
Exercice 1931. Sachant $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{n!}=e$, calculer $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{n+1}{n!}$ et $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{n^2-2}{n!}$.
Exercice 1932. Calculer pour $x \in ]-1,1[$\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}. \]
Exercice 1933. Existence et valeur pour $m \geqslant 1$ de\\ \[ S_m=\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{1}{n(n+1)\cdots(n+m)}. \]
Exercice 1934. Pour $p \in \N$, on pose\\ \[ a_p=\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{n^p}{2^n}. \]
  1. Montrer que $a_p$ existe puis exprimer $a_p$ en fonction de $a_0,\ldots,a_{p-1}$.\\
  2. En déduire que $a_p \in \N$.
Exercice 1935. Soient $\alpha \in ]2,+\infty[$ et $(a_n)$ la suite définie par\\ $a_0=\alpha$ et $a_{n+1}=a_n^2-2$ pour tout $n \in \N$.\\ Montrer\\ \[ \Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{a_0a_1\cdots a_n} = \Frac12\left(\alpha-\sqrt{\alpha^2-4}\right). \]

Exercice 1936. X ENS

\\
  1. Pour $n \in \N$, on note $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{\ln{k}}{k}-\Frac{1}{2}\ln(n)^2$. \\ Montrer que $\un$ converge. \\
  2. Calculer $\Sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \Frac{\ln(n)}{n}$.