Analyse asymptotique

Exercice 1792. Déterminer un équivalent de $\ln(\cos x)$ quand $x \to (\pi/2)^-$.
Exercice 1793. Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand $x \to 0$.\\
  1. $\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}$.\\
  2. $\tan x-\sin x$.\\
  3. $e^x+x-1$.
Exercice 1794. Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand $x \to +\infty$.\\
  1. $\Frac{\ln(x+1)}{\ln x}-1$.\\
  2. $\sqrt{\ln(x+1)}-\sqrt{\ln(x-1)}$.\\
  3. $x\ln(x+1)-(x+1)\ln x$.
Exercice 1795. Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=0$.\\ Montrer que\\ \[ e^{f(x)}-e^{g(x)}\sim_{0} f(x)-g(x).\\ \]
Exercice 1796. Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $\Sum_{k=1}^{n} \sin\!\left(\Frac{k}{n^2}\right)$.
Exercice 1797. Calculer $\lim_{x\to 0^+}\left(\Frac{2}{x(e^x-1)}-\Frac{2}{x^2}+\Frac{1}{x}\right)$.
Exercice 1798. Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. \\
  1. Montrer que si $x \in \R$, on a (lorsque $h \to 0$) : \\ \[ f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\Frac{h^2}{2} f''(x)+o(h^2). \]
  2. On suppose de plus que $f(0)=0$. Déterminer la limite de la suite $(S_n)_{n \geqslant 0}$ définie par \\ \[ S_n=\Sum_{k=1}^{n} f\parenthese{\Frac{k}{n^2}} . \]
Exercice 1799. Soit $f$ et $g$ deux applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f(x)=o(g(x))$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \\ Montrer qu’il existe une application $h$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f(x)=o(h(x))$ et $h(x)=o(g(x))$, lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1800. Déterminer une application $f:\mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ telle qu’au voisinage de $+\infty$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\ln^n x = o(f(x))$ et $f(x) = o\!\left(x^{\frac{1}{n}}\right)$.
Exercice 1801. Calculer $\lim_{x\to 0}\left(\Frac{\ln(1+2x+2x^2)}{\ln(1+2x+3x^2)}\right)^{\Frac{1}{e^x-1}}$.
Exercice 1802. On note $f : ]-1;1[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)=\Frac{1}{x-1}+\Frac{1}{x+1}+\Frac{1}{x+2}$.\\
  1. Montrer que $f$ est une bijection et que $f^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.\\
  2. Former un développement asymptotique de $f^{-1}(y)$ à la précision $o\!\Big(\Frac{1}{y^2}\Big)$ lorsque $y$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1803. Soit $f:x\mapsto \tan x-\Frac{x^2}{x+1}$. \\ Pour $n\in\mathbb{N}^*$, montrer que $f$ a un seul zéro noté $x_n$ dans $]n\pi,n\pi+\Frac{\pi}{2}[$. \\ Donner un développement de $x_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, à la précision $o\!\left(\Frac{1}{n^3}\right)$.
Exercice 1804. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x-\ln(1+x^2)$.\\
  1. Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ dans $\R$.\\
  2. Sa bijection réciproque $f^{-1}$ admet-elle un $DL_3(0)$ ? Si oui, le calculer.
Exercice 1805. Développement asymptotique à trois termes de :\\ \[ u_n=\Sum_{k=1}^{n}\sin\left(\Frac{k}{n^2}\right). \]
Exercice 1806. Former le développement asymptotique, en $+\infty$, à la précision $\Frac{1}{n^2}$ de\\ \[ u_n=\Frac{1}{n!}\Sum_{k=0}^{n}k!. \]
Exercice 1807. Donner un développement asymptotique de $\left(\Frac{1}{n!}\Sum_{k=0}^{n}k!\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à la précision $o\left(\Frac{1}{n^3}\right)$.
Exercice 1808. Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand $x \to 0$.\\
  1. $\ln(1+\sin x)$.\\
  2. $\ln(\ln(1+x))$.\\
  3. $(\ln(1+x))^2-(\ln(1-x))^2$.
Exercice 1809. Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de $0$ :\\
  1. $x(2+\cos x)-3\sin x$.\\
  2. $x^x-(\sin x)^x$.\\
  3. $\arctan(2x)-2\arctan(x)$.
Exercice 1810. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que\\ \[ f(x)+f(x+1)\sim_{+\infty}\Frac{1}{x}. \]
  1. Étudier la limite de $f$ en $+\infty$.\\
  2. Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$.
Exercice 1811. Soit $f:]-1;0[\cup]0;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par\\ \[ f(x)=\Frac{\ln(1+x)-x}{x^2}. \] Montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en $0$ et que ce prolongement est alors dérivable en $0$.\\ Quelle est alors la position relative de la courbe de $f$ par rapport à sa tangente en ce point ?
Exercice 1812. Soient $a$ un réel non nul et $f$ la fonction définie au voisinage de $0$ par\\ \[ f(x)=\Frac{\ln(1+ax)}{1+x}. \] Déterminer les éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles $f$ présente un point d’inflexion en $0$.
Exercice 1813. Montrer que la fonction\\ \[ f:x\mapsto \Frac{x}{e^x-1} \] peut être prolongée en une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 1814. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par\\ \[ f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^2} \quad \text{si}\;\; x\neq 0\\ 0 \quad \text{sinon.} \end{cases} \] Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(n)}(0)=0$.\\ C’est ici un exemple de fonction non nulle dont tous les $DL_n(0)$ sont nuls.
Exercice 1815. Soit $f: ]0;1[\cup]1;+\infty[\to\mathbb{R}$ l’application définie par\\ \[ f(x)=\integrale{x}{x^2}{\Frac{dt}{\ln t}}{t}. \]
  1. Montrer que $f$ est convexe sur $]0;1[$ et $]1;+\infty[$.\\
  2. Montrer que, pour tout $x>1$ on a :\\ \[ \integrale{x}{x^2}{\Frac{x\,dt}{t\ln t}}{t}\leqslant \integrale{x}{x^2}{\Frac{dt}{\ln t}}{t}\leqslant \integrale{x}{x^2}{\Frac{x^2\,dt}{t\ln t}}{t}. \] En déduire que $\lim_{x\to 1^+}f(x)=\ln 2$. De même, établir : $\lim_{x\to 1^-}f(x)=\ln 2$.\\
  3. On prolonge $f$ par continuité en $1$, en posant $f(1)=\ln 2$.\\ Montrer que $f$ ainsi prolongée est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0;+\infty[$.\\ Établir la convexité de $f$ sur $]0;+\infty[$.
Exercice 1816. Soit $\varphi : ]-1 ; +\infty[ \to \R$ la fonction définie par $\varphi(s)=s-\ln(1+s)$ pour tout $s>-1$.\\
  1. Montrer que $\varphi$ définit par restriction aux intervalles $]-1 ; 0]$ et $[0 ; +\infty[$ une bijection $\varphi_- : ]-1 ; 0] \to [0 ; +\infty[$ et une bijection $\varphi_+ : [0 ; +\infty[ \to [0 ; +\infty[$.\\
  2. Donner un équivalent de $\varphi(s)$ lorsque $s$ tend vers $0$ et en déduire des équivalents des bijections réciproques $\varphi_+^{-1}$ et $\varphi_-^{-1}$ en $0$ par valeurs supérieures.\\
  3. Former un développement asymptotique à trois termes de $\varphi_+^{-1}$ et $\varphi_-^{-1}$ en $0^+$.