Développements limités

Exercice 1757. Déterminer les limites suivantes :\\
  1. $\lim_{x\to+\infty}\Frac{xe^{-x}+x^2}{x-\ln x}$.\\
  2. $\lim_{x\to+\infty}\Frac{x\ln x-x}{x+\cos x}$.\\
  3. $\lim_{x\to+\infty}\Frac{\sqrt{xe^x-x^2}}{e^x+e^{-x}}$.
Exercice 1758. En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer la limite de $\Frac{\ch x + \cos x - 2}{x^4}$ lorsque $x$ tend vers $0$.
Exercice 1759. Calculer le développement limité à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $\cos\!\big(\sqrt{t^{2}+t}\big)$.
Exercice 1760. Développement limité à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ de $e^{\sin{t}}$.
Exercice 1761. Développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de $f(x) = xe^{\sin{x}}-\sqrt{1+x}$.
Exercice 1762. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\arctan\left(\Frac{1+x}{1-x}\right)$.\\
  2. $DL_3(1)$ de $\arctan$.\\
  3. $DL_3(0)$ de $\Frac{1}{(1+x)(2-x)}$.\\
  4. $DL_3(0)$ de $e^{\sin(x)}$.\\
  5. $DL_5(0)$ de $e^{\cos(x)}$.
Exercice 1763. Déterminer la limite lorsque $x$ tend vers $1$ de $\Frac{x^{x}-x}{\,1-x+\ln x\,}$.
Exercice 1764. Donner un équivalent simple en $0$ et en $+\infty$ de $\Frac{1}{x}-\Frac{1}{x^2}$ et de $\ln(4x^4-2\cos x+3)$.
Exercice 1765. Donnez des équivalents de\\
  • $\Frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}$ au voisinage de $-1$.\\
  • $\Frac{\ch x-\cos x}{(e^x-1)^{5/2}}$ au voisinage de $0$ et de $+\infty$.\\
  • $\Frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}$ au voisinage de $0$ et de $1$.
Exercice 1766. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \Frac{x^x - 1}{\ln^2\!\bigl(1 + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)}$.
Exercice 1767. Calculer la limite en $+\infty$, si elle existe, de $x\sin\!\left(\Frac{1}{x}\right)$, $\left(\Frac{x^4}{x-1}\right)^{\Frac{1}{3}} - x$, $\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}$ et $\Frac{\sh\sqrt{x^2+2}}{e^x}$.
Exercice 1768. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\ln(1+e^x)$.\\
  2. $DL_3(0)$ de $\ln(2+\sin(x))$.\\
  3. $DL_3\left(\Frac{\pi}{4}\right)$ de $\sin(x)$.\\
  4. $DL_4(1)$ de $\Frac{\ln(x)}{x^2}$.
Exercice 1769. Donner des équivalents de : \\
  • $f(x)=\Frac{\ln x}{\sqrt{x}(1-x)^{\Frac{3}{2}}}$ au voisinage de $0^+$ et de $1^-$. \\
  • $f(x)=\Frac{\sin(ax)}{e^x-1}$ au voisinage de $0$. \\
  • $f(x)=\Frac{\th 3x-\th 2x}{x}$ au voisinage de $+\infty$ et de $0$.
Exercice 1770. Déterminer le $DL_{100}(0)$ de $f(x)=\ln\!\left(\Sum_{k=0}^{99}\Frac{x^k}{k!}\right)$.
Exercice 1771. Déterminer le $DL_{2}(1)$ de $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$.
Exercice 1772. \\
  1. DL à l’ordre $2$ au voisinage de $\Frac{1}{2}$ de $\cos(\pi x(1-x))$.\\
  2. DL à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $\ln\sqrt[5]{2+\cos x}$.\\
  3. DL à l’ordre $2$ au voisinage de $\Frac{\pi}{3}$ de $\ln(\sin x)$.
Exercice 1773. Considérons la fonction $f$ définie par $f(x)=\Frac{e^x-1-x}{\ln(1+x)}$.\\ Déterminer le développement limité de $f$ à l’ordre $3$ en $0$.
Exercice 1774. Donner le développement limité en $0$ des fonctions suivantes :\\
  1. $x\mapsto \ln(\cos x)$ à l’ordre $5$.\\
  2. $x\mapsto \sin^6 x$ à l’ordre $9$.\\
  3. $x\mapsto \Frac{\sqrt{1+\ln(1+x^2)}}{\sqrt[3]{1+x}}$ à l’ordre $3$.
Exercice 1775. On note $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)=\ln(1+x^2)-x$.\\
  1. Montrer que $f$ est bijective.\\
  2. Former le $DL_4(0)$ de $f^{-1}$.
Exercice 1776. Former le développement limité, à l’ordre et au voisinage indiqués, de la fonction $f$ définie par la formule suivante (variable $x$) :\\
  1. ordre $22$, voisinage de $0$, $\exp\!\Big(\Sum_{k=1}^{20}\Frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k\Big)$.\\
  2. ordre $3$, voisinage de $0$, $\integrale{x}{2x}{\ln(1+t)\ln(1-t)}{t}$.
Exercice 1777. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\sqrt{3+\cos(x)}$.\\
  2. $DL_8(0)$ de $(\tan(x))^3\left((\cos(x))^{x^2}-1\right)$.
Exercice 1778. \\
  1. Calculer : $\lim_{x\to e}\Frac{\ln(\ln(x))}{x^2-3ex+2e^2}$.\\
  2. Calculer : $\lim_{x\to 0}\left(e^{\sqrt{x^2+x^4}}-\sin(x)\right)^{\ln(x)}$.\\
  3. Calculer : $\lim_{x\to+\infty}x^2e^{1/x}-\sqrt[3]{x^6+3x^5+x^4}$.
Exercice 1779. \\
  1. Donner un équivalent simple en $0^+$ de $\Frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{\sin(x)}}$.\\
  2. Donner un équivalent simple en $\left(\Frac{\pi}{2}\right)^-$ de $\tan(x)$.\\
  3. Donner un équivalent simple en $+\infty$ de $\ln\left(\Frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}\right)$.\\
  4. Trouver un équivalent simple en $0$ de $x^x-\sin^x(x)$.\\
  5. Donner un équivalent simple de $(x+1)\ln(x)-x\ln(x+1)$ en $0$ ; $+\infty$ ; $1$.
Exercice 1780. Déterminer les limites suivantes :\\
  1. $\lim_{x\to 0^+}\Frac{x+\sin x}{x\ln x}$.\\
  2. $\lim_{x\to 0^+}\Frac{\ln x+x^2}{\ln(x+x^2)}$.\\
  3. $\lim_{x\to 1}\Frac{\ln x}{x^2-1}$.
Exercice 1781. Déterminer les limites suivantes :\\
  1. $\lim_{x\to 2}\left(\Frac{2^x+3^x}{2^{x+1}+5^{x/2}}\right)^{1/(2-x)}$.\\
  2. $\lim_{x\to+\infty}\left(\Frac{\ln(1+x)}{\ln x}\right)^{x\ln x}$.\\
  3. $\lim_{x\to a}\Frac{x^a-a^x}{\arctan x-\arctan a}$ avec $a>0$.
Exercice 1782. Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles définies sur un intervalle dont $a$ est une extrémité finie ou infinie.\\ On suppose\\ \[ f(x)\to_{x\to a}1 \quad\text{et}\quad g(x)(f(x)-1)\to_{x\to a}\ell\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}. \] Étudier la limite de $f(x)^{g(x)}$ lorsque $x$ tend vers $a$.\\ \\ Application : Étudier\\ \[ \lim_{x\to+\infty}\left(\Frac{1}{x}+\Frac{\ln(2x)}{\ln(x)}\right)^{\ln(x)}. \]
Exercice 1783. Déterminer les limites suivantes :\\
  1. $\lim_{x\to 0}\Frac{1}{\sin^2 x}-\Frac{1}{x^2}$.\\
  2. $\lim_{x\to 0}\Frac{1}{x}-\Frac{1}{\ln(1+x)}$.\\
  3. $\lim_{x\to 0}\Frac{(1+x)^{1/x}-e}{x}$.
Exercice 1784. Pour $\alpha=-\Frac{1}{2}$ et $k\in\mathbb{N}$, exprimer\\ \[ \Frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!} \] à l’aide de nombres factoriels.\\ En déduire une expression du $DL_{2n+1}(0)$ de $\Frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ puis du $DL_{2n+2}(0)$ de $\arcsin(x)$.
Exercice 1785. Exprimer le développement limité général en $0$ de $\arcsin x$.\\
Exercice 1786. Pour $n\in\mathbb{N}$, déterminer le développement limité à l’ordre $2n+2$ de $x\mapsto \Frac{1}{2}\ln\!\Big(\Frac{1+x}{1-x}\Big)$.\\ On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.
Exercice 1787. Montrer que l’application $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=xe^{x^2}$ admet une application réciproque définie sur $\mathbb{R}$ et former le $DL_5(0)$ de $f^{-1}$.
Exercice 1788. Soient $n\in\mathbb{N}$, $n\geqslant 2$ et $f$ l’application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par\\ \[ f(x)=x^n\sin\!\Big(\Frac{1}{x}\Big)\;\;\text{si}\;\;x\neq 0\quad\text{et}\quad f(0)=0. \]
  1. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.\\
  2. $f$ admet-elle un développement limité en $0$ ? si oui à quel ordre maximal ?
Exercice 1789. Former le développement asymptotique en $0$ de l’expression considérée à la précision demandée :\\
  1. $\Frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}$ à la précision $x^{5/2}$\\
  2. $x^x$ à la précision $(x\ln x)^2$
Exercice 1790. Former le développement asymptotique en $+\infty$ de l’expression considérée à la précision demandée :\\
  1. $\sqrt{x+1}$ à la précision $1/x^{3/2}$.\\
  2. $x\ln(x+1)-(x+1)\ln x$ à la précision $1/x^2$.\\
  3. $\left(\Frac{x+1}{x}\right)^x$ à la précision $1/x^2$.
Exercice 1791. Calculer\\ \[ \lim_{x \to +\infty}\parenthese{\Frac{a^{1/x}+b^{1/x}+c^{1/x}}{3}}^{x}, \qquad a > 0,\; b > 0,\; c > 0. \]