Développements limités, équivalents

Exercice 2516. Calculer des équivalents, au voisinage de $0$, de :\\
  1. $\Frac{1}{x}-\Frac{1}{\sin x}+x$.\\
  2. $\Frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{\sin x}}{x}$.\\
  3. $\Frac{(\sin x)^x-(\sh x)^x}{(\sin x)^{2x}-x^2\sh x}$.\\
  4. $\ln\left(\Frac{1}{x}\right)\ln\left(1+e^{\frac{1}{x}}\right)$.\\
  5. $\Frac{x^x-(\sin x)^x-\Frac{x^3}{6}}{x^4\ln x}$.
Exercice 2517. Déterminer le développement limité de $f$, au voisinage de $a$, à l'ordre $n$, avec :\\
  1. $y=\sqrt[3]{1+2x}$, $a=0$, $n=2$.\\
  2. $y=\sqrt[3]{1+2x}$, $a=1$, $n=2$.\\
  3. $y=\sqrt{1+\cos(x)}$, $a=0$, $n=2$.\\
  4. $y=\Frac{x+1}{x^2+2x+2}$, $a=0$, $n=5$.\\
  5. $y=\arccos(x)$, $a=0$, $n=5$.\\
  6. $y=\ln(2+e^x)$, $a=0$, $n=2$.\\
  7. $y=\ln\left(\Frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)$, $a=0$, $n=5$.\\
  8. $y=\Frac{x-\tan(x)}{\sh(x)}$, $a=0$, $n=3$.\\
  9. $y=(1+x)^{\frac{1}{x}}$, $a=0$, $n=3$.\\
  10. $y=\Frac{1}{\sin^2(x)}$, $a=0$, $n=3$.\\
  11. $y=\sh(x)e^{\cos(x^2)}$, $a=0$, $n=5$.\\
  12. $y=\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+2}}$, $a=+\infty$, $n=7$.\\
  13. $y=\Frac{e^{2x}-1}{1-\cos(x)}$, $a=0$, $n=2$.\\
  14. $y=\arctan(1+x+x^2)$, $a=0$, $n=3$.\\
  15. $y=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt[3]{x^3-5x^2+6}$, $a=+\infty$, $n=2$
Exercice 2518. Former le développement limité, à l’ordre et au voisinage indiqués, de la fonction $f$ définie par la formule suivante (variable $x$) :\\
  1. ordre $22$, voisinage de $0$, $\exp\!\Big(\Sum_{k=1}^{20}\Frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k\Big)$.\\
  2. ordre $3$, voisinage de $0$, $\integrale{x}{2x}{\ln(1+t)\ln(1-t)}{t}$.
Exercice 2519. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \Frac{x^x - 1}{\ln^2\!\bigl(1 + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)}$.
Exercice 2520. Considérons la fonction $f$ définie par $f(x)=\Frac{e^x-1-x}{\ln(1+x)}$.\\ Déterminer le développement limité de $f$ à l’ordre $3$ en $0$.
Exercice 2521. Déterminer le $DL_{100}(0)$ de $f(x)=\ln\!\left(\Sum_{k=0}^{99}\Frac{x^k}{k!}\right)$.
Exercice 2522. Déterminer le $DL_{2}(1)$ de $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$.
Exercice 2523. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\sqrt{3+\cos(x)}$.\\
  2. $DL_8(0)$ de $(\tan(x))^3\left((\cos(x))^{x^2}-1\right)$.
Exercice 2524. Calculer la limite en $+\infty$, si elle existe, de $x\sin\!\left(\Frac{1}{x}\right)$, $\left(\Frac{x^4}{x-1}\right)^{\frac{1}{3}} - x$, $\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}$ et $\Frac{\sh\sqrt{x^2+2}}{e^x}$.
Exercice 2525. Calculer le développement limité à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $\cos\!\big(\sqrt{t^{2}+t}\big)$.
Exercice 2526. Développement limité à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ de $e^{\sin{t}}$.
Exercice 2527. Donner un équivalent simple en $0$ de $\ln(4x^4-2\cos x+3)$.
Exercice 2528. Déterminer un équivalent de $a_n=\cos\!\left(\Frac{\pi n^2}{2n^2+an+1}\right)$, où $a\in\mathbb{R}$.
Exercice 2529. Donner un équivalent simple au voisinage de $0$ puis de $+\infty$ pour les fonctions suivantes :\\
  1. $x+\sqrt{x}$. \\
  2. $e^x+\sin(x)$. \\
  3. $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. \\
  4. $\ln(1+4x)$. \\
  5. $\dfrac{\ln(1+x^2)}{4x^2}$.
Exercice 2530. Donner un équivalent simple des expressions suivantes :\\
  1. $\ln\!\parenthese{e^x+e^{-x^2}}$ en $+\infty$. \\
  2. $\dfrac{1-\cos(x)(1+2x)}{x^2-x^3}$ en $0$. \\
  3. $\dfrac{(2+x)x^2\sqrt{3x^2+4}}{\sqrt{x}\sin(\sqrt{x})}$ en $0^+$. \\
  4. $\sqrt{\cos(x)}-1$ en $0$. \\
  5. $\dfrac{(e^x-1)\sin^2(x)}{3x^2+\arctan(x^4)}$ en $0$.
Exercice 2531. Écrire les développements limités des fonctions : $\ln$, $\exp$, $\ch$, $\sh$, $\sin$, $\cos$ à l’ordre $n$ au point $a$, pour $n$ et $a$ quelconques.
Exercice 2532. Calculer les limites suivantes :\\
  1. $\lim_{x\to \Frac{1}{2}}(2x^2-3x+1)\tan(\pi x)$.\\
  2. $\lim_{x\to a}\Frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\ln x-\ln a}$.\\
  3. $\lim_{x\to 1}(2-x)^{\tan\left(\Frac{\pi x}{2}\right)}$.\\
  4. $\lim_{x\to 2}\Frac{x^2-2^x}{\sin(x-2)}$.\\
  5. $\lim_{x\to 0}\Frac{a^x\sin(bx)-b^x\sin(ax)}{c^x\sin(dx)-d^x\sin(cx)} \quad (a,b,c,d \in \R_+^*)$.\\
  6. $\lim_{x\to \Frac{\pi}{4}}\Frac{\tan^n x-1}{2\sin^2 x-1} \quad (n \in \N^*)$.\\
  7. $\lim_{x\to \Frac{\pi}{2}}\left(\Frac{2}{\cos^2 x}+\Frac{1}{\ln\sin x}\right)$.\\
  8. $\lim_{x\to \Frac{\pi}{2}}\Frac{\sin^{p+q}x-1}{(\sin^p x-1)(\sin^q x-1)} \quad (p,q \in \R)$.\\
  9. $\lim_{x\to +\infty}\Frac{\sqrt{\Frac{\pi}{2}}-\arctan x}{\left(1+\Frac{1}{x}\right)^x-e}$.\\
  10. $\lim_{x\to +\infty}\left(1+x+x^2+\cdots+x^p\right)^{\Frac{1}{p}}-\left(1+x+x^2+\cdots+x^q\right)^{\Frac{1}{q}} \quad (p,q \in \N^*)$.\\
  11. $\lim_{x\to +\infty}\left(\sh x\right)^{\ch x}-\left(\ch x\right)^{\sh x}$.\\
  12. $\lim_{x\to \Frac{\pi}{4}}\left(2\sin x-\sqrt{2}\tan x\right)\ln\left(1-\tan^n x\right) \quad (n \in \N^*)$.\\
  13. $\lim_{x\to 0}\left(\Frac{\tan x}{x}\right)^{\Frac{1}{\tan x}}$.\\
  14. $\lim_{x\to 0}\left(\Frac{1}{x-\sin(x)}+\Frac{1}{x-\sh(x)}\right)$.
Exercice 2533. Soit $f(x)=x+\ln(1+x)$ pour tout $x > -1$.\\ On note $g$ sa bijection réciproque.\\
  1. Montrer que $f$ est une bijection.\\
  2. Calculer $g(0)$ et $g'(0)$.\\
  3. Prouver que $g$ admet un développement limité à tout ordre au voisinage de $0$.\\
  4. Exprimer le développement limité de $g$ à l'ordre $3$.
Exercice 2534. Développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de $f(x) = xe^{\sin{x}}-\sqrt{1+x}$.
Exercice 2535. Exprimer le développement limité général en $0$ de $\arcsin x$.\\
Exercice 2536. Pour $n\in\mathbb{N}$, déterminer le développement limité à l’ordre $2n+2$ de $x\mapsto \Frac{1}{2}\ln\!\Big(\Frac{1+x}{1-x}\Big)$.\\ On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.
Exercice 2537. On note $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)=\ln(1+x^2)-x$.\\ Montrer que $f$ est bijective puis former le $DL_4(0)$ de $f^{-1}$.
Exercice 2538. Montrer que l’application $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=xe^{x^2}$ admet une application réciproque définie sur $\mathbb{R}$ et former le $DL_5(0)$ de $f^{-1}$.
Exercice 2539. Former le développement asymptotique en $0$ de l’expression considérée à la précision demandée :\\
  1. $\Frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}$ à la précision $x^{5/2}$\\
  2. $x^x$ à la précision $(x\ln x)^2$
Exercice 2540. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\arctan\left(\Frac{1+x}{1-x}\right)$.\\
  2. $DL_3(1)$ de $\arctan$.\\
  3. $DL_3(0)$ de $\Frac{1}{(1+x)(2-x)}$.\\
  4. $DL_3(0)$ de $e^{\sin(x)}$.\\
  5. $DL_5(0)$ de $e^{\cos(x)}$.
Exercice 2541. Donnez des équivalents de\\
  • $\Frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}$ au voisinage de $-1$.\\
  • $\Frac{\ch x-\cos x}{(e^x-1)^{5/2}}$ au voisinage de $0$ et de $+\infty$.\\
  • $\Frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}$ au voisinage de $0$ et de $1$.
Exercice 2542. Donner des équivalents de : \\
  • $f(x)=\Frac{\ln x}{\sqrt{x}(1-x)^{\Frac{3}{2}}}$ au voisinage de $0^+$ et de $1^-$. \\
  • $f(x)=\Frac{\sin(ax)}{e^x-1}$ au voisinage de $0$. \\
  • $f(x)=\Frac{\th 3x-\th 2x}{x}$ au voisinage de $+\infty$ et de $0$.
Exercice 2543. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\ln(1+e^x)$.\\
  2. $DL_3(0)$ de $\ln(2+\sin(x))$.\\
  3. $DL_3\left(\Frac{\pi}{4}\right)$ de $\sin(x)$.\\
  4. $DL_4(1)$ de $\Frac{\ln(x)}{x^2}$.
Exercice 2544. \\
  1. DL à l’ordre $2$ au voisinage de $\Frac{1}{2}$ de $\cos(\pi x(1-x))$.\\
  2. DL à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $\ln\sqrt[5]{2+\cos x}$.\\
  3. DL à l’ordre $2$ au voisinage de $\Frac{\pi}{3}$ de $\ln(\sin x)$.
Exercice 2545. Donner le développement limité en $0$ des fonctions suivantes :\\
  1. $x\mapsto \ln(\cos x)$ à l’ordre $5$.\\
  2. $x\mapsto \sin^6 x$ à l’ordre $9$.\\
  3. $x\mapsto \Frac{\sqrt{1+\ln(1+x^2)}}{\sqrt[3]{1+x}}$ à l’ordre $3$.
Exercice 2546. Soient $n\in\mathbb{N}$, $n\geqslant 2$ et $f$ l’application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par\\ \[ f(x)=x^n\sin\!\Big(\Frac{1}{x}\Big)\;\;\text{si}\;\;x\neq 0\quad\text{et}\quad f(0)=0. \]
  1. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.\\
  2. $f$ admet-elle un développement limité en $0$ ? si oui à quel ordre maximal ?
Exercice 2547. \\
  1. Donner un équivalent simple en $0^+$ de $\Frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{\sin(x)}}$.\\
  2. Donner un équivalent simple en $\left(\Frac{\pi}{2}\right)^-$ de $\tan(x)$.\\
  3. Donner un équivalent simple en $+\infty$ de $\ln\left(\Frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}\right)$.\\
  4. Trouver un équivalent simple en $0$ de $x^x-\sin^x(x)$.\\
  5. Donner un équivalent simple de $(x+1)\ln(x)-x\ln(x+1)$ en $0$ ; $+\infty$ ; $1$.
Exercice 2548. Former le développement asymptotique en $+\infty$ de l’expression considérée à la précision demandée :\\
  1. $\sqrt{x+1}$ à la précision $1/x^{3/2}$.\\
  2. $x\ln(x+1)-(x+1)\ln x$ à la précision $1/x^2$.\\
  3. $\left(\Frac{x+1}{x}\right)^x$ à la précision $1/x^2$.
Exercice 2549. Déterminer un équivalent en $+\infty$ de \[ (n+1)^{\frac{1}{n+1}}-n^{\frac{1}{n}}. \]
Exercice 2550. Donner un équivalent simple au voisinage de $0$ puis de $+\infty$ pour les fonctions suivantes :\\
  1. $x+\sqrt{x}$\\
  2. $e^x+\sin(x)$\\
  3. $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$\\
  4. $\ln(1+4x)$\\
  5. $\dfrac{\ln(1+x^2)}{4x^2}$
Exercice 2551. Donner un équivalent simple des expressions suivantes :\\
  1. $\ln\parenthese{e^x+e^{-x^2}}$ en $+\infty$\\
  2. $\dfrac{1-\cos(x)(1+2x)}{x^2-x^3}$ en $0$\\
  3. $\dfrac{(2+x)x^2\sqrt{3x^2+4}}{\sqrt{x}\sin(\sqrt{x})}$ en $0^+$\\
  4. $\sqrt{\cos(x)}-1$ en $0$\\
  5. $\dfrac{(e^x-1)\sin^2(x)}{3x^2+\arctan(x^4)}$ en $0$
Exercice 2552. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$ et à valeurs strictement positives.\\
    1. On suppose que $f \sim_a g$ et $\lim\limits_{x \to a} g(x)=+\infty$. Justifier que $\ln(f(x))\sim_a \ln(g(x))$.\\
    2. En déduire un équivalent en $+\infty$ de $\ln(8x^7+3x^3+2x-1)$.
    1. Vérifier que la conclusion de la question précédente est toujours valide si on suppose maintenant que $f \sim_a g$ et que $\lim\limits_{x \to a}g(x)=\ell$ avec $\ell \in \mathbb{R}_+ \setminus \{1\}$.\\
    2. Que dire si $\ell=1$ ?
Exercice 2553. Soient $f$, $g$, $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I$, tel que $h$ ne s’annule pas au voisinage de $a \in I$.\\ Montrer l’implication :\\ $f \leqslant g \leqslant h$ et $f(x)\sim_a h(x)$ $\Rightarrow$ $g(x)\sim_a f(x)$
Exercice 2554. Déterminer un équivalent et la limite de la fonction $f$ au(x) point(s) considéré(s) :\\
  1. $f(x)=e^x+\sin(x)$ en $0$ et en $+\infty$\\
  2. $f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{x}$ en $0$ et en $+\infty$\\
  3. $f(x)=\sin(x^2)$ en $0$\\
  4. $f(x)=\ln(\cos x)$ en $0$\\
  5. $f(x)=\dfrac{\tan(x)\ln(1+x)}{\sqrt{1+x^2}-1}$ en $0$\\
  6. $f(x)=\dfrac{1}{x}\ln\parenthese{\dfrac{1+x}{1-x}}$ en $0$\\
  7. $f(x)=\dfrac{\ln(\ln x)^2-\cos^5(x)+\ln x}{2^x-50x^6}$ en $+\infty$\\
  8. $f(x)=\dfrac{\sin x-\cos x}{x-\pi/4}$ en $\pi/4$
Exercice 2555.
  1. Donner le développement limité à l’ordre $2$ en $0$ de $\cos(x)-1$ et en déduire \[ \lim_{x \to 0}\dfrac{\cos(x)-1}{\sqrt{x}}. \]
  2. Donner le développement limité à l’ordre $4$ en $0$ de $\sin^2(x)$.\\
  3. Donner le développement limité à l’ordre $2$ en $0$ de $e^x-1+x$. En déduire \[ \lim_{x \to 0}\dfrac{e^x-1+x}{x}. \]
  4. Donner le développement limité à l’ordre $2$ en $0$ de $e^x-e^{-x}$. En déduire que la fonction $\varphi:\R \to \R$ définie par \[ \varphi(x)= \begin{cases} \dfrac{e^x-e^{-x}}{2x} & \text{si } x \neq 0\\ 1 & \text{si } x=0 \end{cases} \] est continue et dérivable en $0$.
Exercice 2556. En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer les $DL_3(0)$ de $\tan$ et de $\arctan$.
Exercice 2557. Donner le développement limité à l’ordre $2$ en $0$ de :\\
  1. $4-5x^2+2x^3+5x^4$\\
  2. $\ln\parenthese{\dfrac{1-x}{1+x}}$
Exercice 2558. Donner le DL des fonctions suivantes :\\
  1. $f:x \mapsto e^{1+x^2}$ à l’ordre $6$ en $0$.\\
  2. $g:x \mapsto \ln(3xe^{-x}+e^{-x})$ à l’ordre $4$ en $0$.\\
  3. $h:x \mapsto \dfrac{e^{x-x^2}-1}{x}$ à l’ordre $3$ en $0$.\\
  4. $i:x \mapsto \ln(1+x)$ à l’ordre $3$ en $1$.\\
Donner également $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ et $f^{(3)}(0)$.
Exercice 2559. On pose $f_1:x \mapsto \cos(x)$, $f_2:x \mapsto 1+\sin(x^2)$ et $f_3:x \mapsto \cos(2x)$.\\
  1. Donner les DL de $f_1$, $f_2$ et $f_3$ en $0$ à l’ordre $4$.\\
  2. En déduire que la famille $(f_1,f_2,f_3)$ est libre.
Exercice 2560. Déterminer les développements limités suivants au voisinage de $0$ :\\
  1. $\sqrt{1+\sin(x)}$ à l’ordre $3$\\
  2. \[ \sin(x)^4 \] à l’ordre $4$\\
  3. \[ e^{\sqrt{1+x}} \] à l’ordre $2$\\
  4. \[ \dfrac{1}{1-2x}-e^{4x} \] à l’ordre $2$\\
  5. \[ \sqrt{1+x}\ln(1+3x) \] à l’ordre $2$\\
  6. \[ (1+\tan(x))^{1/3} \] à l’ordre $2$\\
  7. \[ \dfrac{x^2}{1-\cos(x)} \] à l’ordre $3$\\
  8. \[ \dfrac{x-\sin(x)}{1-\cos(x)} \] à l’ordre $3$\\
  9. \[ \dfrac{\arctan(x)}{\arcsin(x)} \] à l’ordre $4$\\
  10. \[ \ln(1+x+\sqrt{1+x}) \] à l’ordre $3$
Exercice 2561. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(0)=0$ et pour tout $x \in \R^*$,\\ \[ f(x)=\dfrac{\cos(x)-1}{x}. \]
  1. Déterminer le développement limité de $f$ à l’ordre $3$ en $0$.\\
  2. Montrer que la courbe représentative de $f$ admet une tangente en $0$ dont on donnera l’équation et étudier la position relative de la courbe par rapport à cette tangente.
Exercice 2562. On note $f$ la fonction définie par $f(0)=0$ et, pour tout $x \neq 0$, \[ f(x)=x^2\sh\left(\dfrac{1}{x}\right). \]
  1. Calculer le $DL_3(0)$ de $f$.\\
  2. En déduire que $f$ est dérivable sur $\R$ et préciser la position relative du graphe de $f$ par rapport à sa tangente en $0$ au voisinage de $0$.
Exercice 2563. \\
  1. Donner le $DL_5(0)$ de $sh(x)ch(2x)-ch(x)$.\\
  2. Donner le $DL_3(0)$ de $\ln\parenthese{\Frac{1+x^2}{1+x}}$.\\
  3. Donner le $DL_3(0)$ de $\ln(1+e^x)$.
Exercice 2564. \\
  1. Donner le $DL_4(1)$ de $\Frac{\ln(x)}{x^2}$.\\
  2. Donner le $DL_3(1)$ de $\cos(\ln(x))$.\\
  3. Donner le $DL_2(0)$ de $\Frac{\sin(x)}{e^x-1}$.
Exercice 2565. \\
  1. Donner le $DL_3(0)$ de $e^{\sqrt{1+x}}$.\\
  2. Donner le $DL_3(0)$ de $\ln(2+\sin(x))$.\\
  3. Donner le $DL_3(1)$ de $\arctan(x)$.
Exercice 2566. Donner une expression du $DL_{2n+1}(0)$ de $\Frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ puis du $DL_{2n+2}(0)$ de $\arcsin(x)$.
Exercice 2567. Donner le $DL_{10}(0)$ de \[ \integrale{x}{x^2}{\Frac{1}{\sqrt{1+t^4}}}{t}. \]
Exercice 2568. Donner le $DL_{1000}(0)$ de \[ \ln\parenthese{\sum_{k=0}^{999}\Frac{x^k}{k!}}. \]
Exercice 2569. \\
  1. Rappeler le $DL_n(0)$ de $(1+x)^\alpha$ où $\alpha\in\R$.\\
  2. Montrer que pour tout $k\in\N^*$, \[ \prod_{i=0}^{k-1}(1+2i)=\Frac{(2k)!}{2^k k!}. \]
  3. En déduire que pour tout $n\in\N$, \[ \Frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum_{k=1}^{n}\parenthese{(-1)^k\Frac{1}{2^{2k}}\binom{2k}{k}}x^k+o(x^n). \]
  4. En déduire un $DL_{2n+1}(0)$ de $\Frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.\\
  5. En déduire un $DL_{2n+2}(0)$ de $\arcsin(x)$.