Développements limités

Exercice 1575. Calculer le développement limité à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $\cos\!\big(\sqrt{t^{2}+t}\big)$.
Exercice 1576. Développement limité à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ de $e^{\sin{t}}$.
Exercice 1577. Développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de $f(x) = xe^{\sin{x}}-\sqrt{1+x}$.
Exercice 1578. Déterminer la limite lorsque $x$ tend vers $1$ de $\Frac{x^{x}-x}{\,1-x+\ln x\,}$.
Exercice 1579. Donner un équivalent simple en $0$ et en $+\infty$ de $\Frac{1}{x}-\Frac{1}{x^2}$ et de $\ln(4x^4-2\cos x+3)$.
Exercice 1580. Donnez des équivalents de\\
  • $\Frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}$ au voisinage de $-1$.\\
  • $\Frac{\ch x-\cos x}{(e^x-1)^{5/2}}$ au voisinage de $0$ et de $+\infty$.\\
  • $\Frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}$ au voisinage de $0$ et de $1$.
Exercice 1581. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \Frac{x^x - 1}{\ln^2\!\bigl(1 + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)}$.