Exercices divers

Exercice 1482. Montrer qu’une fonction continue et périodique définie sur $\R$ est bornée.
Exercice 1483. Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $f_{\restriction \Q}$ est croissante.\\ Montrer que $f$ est croissante.
Exercice 1484. Un marcheur parcourt $12$ kilomètres en $2$ heures. Montrer qu'il y a un intervalle de $1$ heure pendant lequel il parcourt exactement $6$ kilomètres.
Exercice 1485. Trouver toutes les applications $f : ]0,+\infty[ \to \R$ telles que \[ \forall (x,y) \in \Rpe^2, \;\; \abs{f(x)-f(y)} \leqslant \Frac{1}{x+y} \]
Exercice 1486.
  1. Soit $f : \left[0,+\infty\right[ \to \R$ continue, positive et telle que\\ \[ \lim_{x \to +\infty}\Frac{f(x)}{x}=\ell < 1 \] Montrer qu’il existe $\alpha \in \left[0,+\infty\right[$ tel que $f(\alpha)=\alpha$.
Exercice 1487. \\
  1. Soit $f : \left[0,+\infty\right[ \to \R$ continue. \\ On suppose que $\abs{f(x)} \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$. \\ Montrer que $f(x) \to +\infty$ ou $f(x) \to -\infty$ lorsque $x \to +\infty$.
Exercice 1488. Pour n$\in\N$ avec n$\geqslant 3$, montrer que l’équation $x^n=e^x$ admet une unique solution dans $[0,n]$, que l’on notera $x_n$.\\ Montrer que $x_n$ tend vers 1 en décroissant.\\ Montrer que $x_n=1+\Frac{1}{n}+\Frac{3}{2n^2}+o\parenthese{\Frac{1}{n^2}}$.
Exercice 1489.
  1. Soient $f : I \to \R$ et $g : I \to \R$ deux fonctions continues telles que\\ \[ \forall x \in I,\; \lvert f(x)\rvert=\lvert g(x)\rvert \neq 0 \] Montrer que $f=g$ ou $f=-g$.
Exercice 1490.
  1. Soit $f : \R \to \R$ continue et décroissante\\ Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
Exercice 1491. Soit A une partie non vide de $\R$.\\ Pour $x$ réel, on pose $f(x)=d(x,A)=\Inf\{\;|y-x|\;;\;y\in A\;\}$.\\ Montrer que f est Lipschitzienne.
Exercice 1492. Soit $a < b \in \bar{\R}$ et $f : [a,b] \to \R$ une fonction croissante. \\ Montrer que l'application $x \mapsto \displaystyle \lim_{x^+} f$ est croissante.
Exercice 1493. \\
  1. Soit $g : \R \to \R$ une fonction $T$ périodique avec $T > 0$ telle que $\displaystyle \lim_{+\infty} g$ existe dans $\R$. \\ Montrer que $g$ est constante. \\
  2. Soient $f,g : \R \to \R$ telles que $f$ converge en $+\infty$, $g$ périodique et $f+g$ croissante. \\ Montrer que $g$ est constante.
Exercice 1494. Donner un exemple d’application $f : \R \longrightarrow \R$ discontinue en tout point de $\R$ telle que $f^{2}$ est continue sur $\R$.\\ Soit $f : \R \longrightarrow \R$ telle que $f^{3}$ est continue sur $\R$. Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
Exercice 1495.
  1. On cherche les fonctions $f : \R \to \R$ continues telles que pour tout $x,y \in \R$,\\ \[ f\parenthese{\Frac{x+y}{2}}=\Frac{1}{2}\parenthese{f(x)+f(y)}. \]
    • On suppose $f$ solution et $f(0)=f(1)=0$. Montrer que $f$ est périodique et que\\ \[ \forall x \in \R,\quad 2f(x)=f(2x). \] En déduire que $f$ est nulle.\\
    • Déterminer toutes les fonctions $f$ solutions.
Exercice 1496. Soit $f : [0,1] \to \Rpe$ une application telle que \[ f(x) + \Frac{1}{f(x)} \xrightarrow[x \to 0]{} 2 \] Montrer que $f(x) \xrightarrow[x \to 0]{} 1$.
Exercice 1497. Soit $f$ continue sur $\R_+$ telle que, pour tout réel $x>0$, on ait $f(x^2)=f(x)$. \\ Montrer que $f$ est constante sur $\R_+$. \\ Trouver un exemple où $f$ n’est pas constante (et donc pas continue)
Exercice 1498. Trouver les fonctions bijectives de $[0,1]$ sur lui-même vérifiant $\forall x \in [0,1]$, $f(2x - f(x)) = x$.
Exercice 1499. Un voyageur fait un trajet de $500$ kilomètres en $5$ heures.\\
  1. Montrer qu’il existe un laps de temps d’une heure durant lequel le voyageur a exactement parcouru $100$ kilomètres.\\
  2. Existe-t-il un laps de temps de $3$ heures durant lequel le voyageur a exactement parcouru $300$ kilomètres ?
Exercice 1500. Soient $x \in \R$ et $p \in \N^{*}$.\\
  1. Montrer qu'il existe trois nombres $q \in \Z$, $r \in \{0,\ldots,p-1\}$ et $\alpha \in [0,1[$ tels que \[ x = q p + r + \alpha. \]
  2. Montrer que \[ \Sum_{k=0}^{p-1} \left\lfloor \Frac{x+k}{p} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor. \]

Exercice 1501. Oral Mines-Pont PC

\\ Soit $f : \R_+ \to \R_+$ continue telle que $f \circ f = \mathrm{Id}$. \\ Montrer que $f = \mathrm{Id}$.
Exercice 1502. Déterminer les fonctions $f : \R \to \R$ continues telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \;\; f(x+y) = f(x)+f(y) \]
Exercice 1503. Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I \to \R$ une application. On suppose que $f$ est continue sur $I$ et que $f |_{\Q \cap I}$ est croissante. Montrer que $f$ est croissante.
Exercice 1504. Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ continues en $0$ telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \quad f\parenthese{\Frac{x+y}{3}} = \Frac{f(x)+f(y)}{2} \]
Exercice 1505. Existe-t-il $f,g : \R \to \R$ telles que \[ \forall x \in \R, \;\; f \circ g(x) = x^2 \quad et \quad g \circ f(x) = x^3 \;\; ? \]
Exercice 1506. Soient $(a,b) \in \R^2$ tel que $a < b$ et $f,g : [a,b] \to \R$ continues telles que \[ \sup_{x \in [a,b]}f(x) = \sup_{x \in [a,b]}g(x) \] Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=g(c)$.
Exercice 1507. Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ continues telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \;\; f(x+y) = f(x)+f(y) \]
Exercice 1508. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ vers $[0,1]$ qui commutent.\\ En examinant l'ensemble des points fixes de la fonction $f$, montrer qu'il existe $x \in [0,1]$ tel que $f(x)=g(x)$.