Exercices divers

Exercice 1614. Un marcheur parcourt $12$ kilomètres en $2$ heures. Montrer qu'il y a un intervalle de $1$ heure pendant lequel il parcourt exactement $6$ kilomètres.
Exercice 1615. Un voyageur fait un trajet de $500$ kilomètres en $5$ heures.\\
  1. Montrer qu’il existe un laps de temps d’une heure durant lequel le voyageur a exactement parcouru $100$ kilomètres.\\
  2. Existe-t-il un laps de temps de $3$ heures durant lequel le voyageur a exactement parcouru $300$ kilomètres ?
Exercice 1616. Soit $f$ une surjection continue de $\R_+$ dans $\R$.\\ Montrer que tout réel admet une infinité d’antécédents par $f$.
Exercice 1617. Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $f_{\restriction \Q}$ est croissante.\\ Montrer que $f$ est croissante.
Exercice 1618. Trouver toutes les applications $f : ]0,+\infty[ \to \R$ telles que \[ \forall (x,y) \in \Rpe^2, \;\; \abs{f(x)-f(y)} \leqslant \Frac{1}{x+y} \]
Exercice 1619. Soit $f : \left[0,+\infty\right[ \to \R$ continue. \\ On suppose que $\abs{f(x)} \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$. \\ Montrer que $f(x) \to +\infty$ ou $f(x) \to -\infty$ lorsque $x \to +\infty$.
Exercice 1620. Montrer que la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par \\ \[ f(x)= \begin{cases} \sin\!\left(\Frac{1}{x}\right) & \; x \neq 0,\\ 0 & \; x = 0, \end{cases} \] vérifie le théorème des valeurs intermédiaires mais n'est pas continue en $0$.
Exercice 1621. \\
  1. Donner un exemple d’application $f : \R \longrightarrow \R$ discontinue en tout point de $\R$ telle que $f^{2}$ est continue sur $\R$.\\
  2. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ telle que $f^{3}$ est continue sur $\R$. Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
Exercice 1622. On cherche les fonctions $f : \R \to \R$ continues telles que pour tout $x,y \in \R$,\\ \[ f\parenthese{\Frac{x+y}{2}}=\Frac{1}{2}\parenthese{f(x)+f(y)}. \]
  1. On suppose $f$ solution et $f(0)=f(1)=0$. Montrer que $f$ est périodique et que\\ \[ \forall x \in \R,\quad 2f(x)=f(2x). \] En déduire que $f$ est nulle.\\
  2. Déterminer toutes les fonctions $f$ solutions.
Exercice 1623. Soit $f : [0,1] \to \Rpe$ une application telle que \[ f(x) + \Frac{1}{f(x)} \xrightarrow[x \to 0]{} 2 \] Montrer que $f(x) \xrightarrow[x \to 0]{} 1$.
Exercice 1624. Trouver les fonctions bijectives de $[0,1]$ sur lui-même vérifiant $\forall x \in [0,1]$, $f(2x - f(x)) = x$.
Exercice 1625. Soient $x \in \R$ et $p \in \N^{*}$.\\
  1. Montrer qu'il existe trois nombres $q \in \Z$, $r \in \{0,\ldots,p-1\}$ et $\alpha \in [0,1[$ tels que \[ x = q p + r + \alpha. \]
  2. Montrer que \[ \Sum_{k=0}^{p-1} \left\lfloor \Frac{x+k}{p} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor. \]

Exercice 1626. Oral Mines-Pont PC

\\ Soit $f : \R_+ \to \R_+$ continue telle que $f \circ f = \mathrm{Id}$. \\ Montrer que $f = \mathrm{Id}$.
Exercice 1627. Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ continues en $0$ telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \quad f\parenthese{\Frac{x+y}{3}} = \Frac{f(x)+f(y)}{2} \]
Exercice 1628. Soient $(a,b) \in \R^2$ tel que $a < b$ et $f,g : [a,b] \to \R$ continues telles que \[ \sup_{x \in [a,b]}f(x) = \sup_{x \in [a,b]}g(x) \] Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=g(c)$.
Exercice 1629. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ vers $[0,1]$ qui commutent.\\ Montrer qu'il existe $x \in [0,1]$ tel que $f(x)=g(x)$.
Exercice 1630. Montrer la surjectivité de l'application $z\in\C\mapsto z\exp(z)\in\C$.
Exercice 1631. Soit $f : I \to \R$ une fonction possédant la propriété des valeurs intermédiaires et injective.\\ Montrer que $f$ est continue.\\ Même question pour $g$ possédant la propriété des valeurs intermédiaires et telle que $\forall r \in \Q$, $X_r = g^{-1}(\{r\})$ est fermée (c’est-à-dire que toute suite convergente de points de $X_r$ a sa limite dans $X_r$).
Exercice 1632. Pour $h$ une fonction de $[0,1] \to [0,1]$, on note $\mathrm{Fix}(h) = \{x \in [0,1]/h(x)=x\}$. \\ Soient $f,g$ deux fonctions continues de $[0,1]\to[0,1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$. \\
  1. Soit $x \in \mathrm{Fix}(f)$. Montrer que $g(x) \in \mathrm{Fix}(f)$. \\
  2. Soit $h : [0,1] \to [0,1]$ continue. Montrer que $\mathrm{Fix}(h)$ est non vide. \\
  3. Soit $h : [0,1] \to [0,1]$ continue. \\
    1. Soit $(x_n)$ une suite à valeurs dans $\mathrm{Fix}(h)$. On suppose que $(x_n)$ converge vers une limite $x_{\infty}$. Montrer que $x_{\infty} \in \mathrm{Fix}(h)$. \\
    2. En déduire que $\bar{\mathrm{Fix}(h)} = \mathrm{Fix}(h)$. \\
    3. Montrer que $\mathrm{Fix}(h)$ possède un maximum et un minimum.