Noyau et image

Exercice 1179. Montrer que les applications suivantes sont linéaires puis déterminer une base de leur noyau et une base de leur image.\\

1. $f_1 : \M_{3,1}(\R) \to \M_{3,1}(\R)$, $ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_1+x_2+2x_3 \\ x_1+x_2 \\ x_1+x_2-3x_3 \end{pmatrix}$. \\
2. $f_2 : \R^3 \to \R^4$, $(x_1,x_2,x_3) \longmapsto (x_1+x_3,\; x_2-x_3,\; x_2+x_3,\; x_1+x_2+2x_3)$. \\
3. $f_3 : \M_{4,1}(\R) \to \M_{2,1}(\R)$, $ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_1 - x_3 + x_4 \\ x_2 + 2x_3 \end{pmatrix}$. \\

Exercice 1180. On considère l’application $\varphi : \R_2[x] \to \R_2[x]$ définie par $\varphi(P(x)) = xP'(x)$.\\

1. Vérifier que si $P \in \R_2[x]$ alors $xP'(x) \in \R_2[x]$.\\
2. Montrer que $\varphi \in \mathcal{L}(\R_2[x])$.\\
3. Calculer $\ker \varphi$.\\
4. Déterminer une base de $\Im \varphi$.\\

Exercice 1181. On note $A=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 4 & -2\end{pmatrix}$ et $f : M \in \M_2(\R) \longmapsto AM - MA$.\\

1. Montrer que $f$ est une application linéaire.\\
2. Déterminer son noyau et son image.\\

Exercice 1182. On note $A=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 4 & -2\end{pmatrix}$ et $f : M \in \M_2(\R) \longmapsto AMA$.\\

1. Montrer que $f$ est une application linéaire.\\
2. Déterminer son noyau et son image.\\