Exercices divers

Exercice 1082. Pour quelle(s) valeur(s) de $a \in \R$ la fonction suivante est-elle dérivable en $0$ ? \[ f : \begin{cases} \R \to \R \\ x \mapsto \begin{cases} x \;\;\; si \;\; x < 0 \\ \sin(ax) \;\;\; si \;\; x \geqslant 0 \end{cases} \end{cases} \]
Exercice 1083. Montrer que pour tout $x \in \Rp$, on a $\abs{\sqrt{2+x}-2} \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{2}} \abs{x-2}$.
Exercice 1084. Soit $f : [a,b] \to \R$ une fonction dérivable s'annulant en $a$ et $b$. \\
  1. Soit $\alpha \in \R$. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)+\alphaf(c)=0$. \\
  2. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)+cf(c)=0$.
Exercice 1085. A l'aide du théorème des accroissements finis, calculer $\limplus \parenthese{(x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}}$.
Exercice 1086. Soit $(a,b,c) \in \R^3$. Montrer qu'il existe $x \in ]0,1[$ tel que $4ax^3+3bx^2+2cx = a+b+c$.
Exercice 1087. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\arctan\parenthese{\Frac{1}{1+x+x^2}} = \arctan(1+x)-\arctan(x)$. \\ En déduire $\limn \Sum_{k=0}^{n} \arctan\parenthese{\Frac{1}{1+k+k^2}}$.
Exercice 1088. Soit $f$ définie sur $]-\infty,-2[\cup]-2,+\infty[$ par $f(x) = \Frac{e^x}{x+2}$. \\
    1. Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser $f([0,1])$. \\
    2. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, $\Frac{1}{4} \leqslant f'(x) \leqslant \Frac{2}{3}$. \\
    3. Montrer que l'équation $f'(x)=x$ admet une unique solution dans $[0,1]$. On notera $a$ cette unique solution dans la suite. \\
  2. On considère la suite $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. \\
    2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_{n+1}-a} \leqslant \Frac{2}{3} \abs{u_n-a}$. \\
    3. En déduire que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_n-a} \leqslant \parenthese{\Frac{2}{3}}^{n}$. \\
    4. En déduire la convergence de la suite $(u_n)$ et déterminer sa limite.