Calcul d'équivalents

Exercice 1026. Trouver un équivalent simple aux suites $(u_n)$ suivantes et donner leur limite : \\
  1. $u_n = (n+3\ln{n})e^{-(n+1)}$. \\
  2. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n+1}$. \\
  3. $u_n = \Frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{n^2-n+1}}$.
Exercice 1027. Donner un équivalent simple des suites suivantes : \\
  1. $u_n = (\sqrt{n}-[\ln{n}]^{7/2}+\sin(n))$. \\
  2. $u_n = \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$. \\
  3. $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
  4. $u_n = \parenthese{\Frac{(1-\cos{\frac{1}{n}})\cos{\frac{1}{n}}}{e^{\frac{1}{n^3}-1}}}$.
Exercice 1028. Calculer les limites suivantes : \\
  1. $\limn \Frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$. \\
  2. $\limn n(n+1)^3-\parenthese{\Frac{e+\pi}{5}}^n + \sin(n!)\arctan(n)$. \\
  3. $\limn \Frac{2^n+n}{2^n}$. \\
  4. $\limn \Frac{(2n)!}{n!n^n}$. \\
  5. $\limn \parenthese{1+\Frac{x}{n}}^{n}$ avec $x \in \R$.
Exercice 1029. Déterminer un équivalent simple de chacune des suites : \\
  1. $u_n = \Frac{n^2+e^{-2n}+\sqrt{n^5}}{\ln(2n)+2n-3}$ \\
  2. $u_n = (n+3\ln(n))e^{-(n+1)}$ \\
  3. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n^2+1}$ \\
  4. $u_n = \ln\parenthese{\Frac{n^2+1}{n^2+2}}$ \\
  5. $u_n = \sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}$\\
  6. $u_n = \Sum_{k=0}^{n} k!$ \\
  7. $u_n = \Frac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt{n}}}$.
Exercice 1030. Donner un équivalent simple à la suite $(u_n)_{n \in \N}$ dans les exemples suivants et en déduire la limite de la suite.\\
  1. $u_n=\Frac{2n^3-\ln(n+1)+1}{n^2+1}$\\
  2. $u_n=\Frac{(3n+1)^3}{-5n^3+4}$\\
  3. $u_n=\sqrt{n^2+n}-1\sin\!\parenthese{\Frac{1}{\sqrt{n+1}}}$\\
  4. $u_n=\Frac{4^{n+3}+2^n}{5^{n+2}+1}$\\
  5. $u_n=\ln\!\parenthese{\cos\!\parenthese{\Frac{1}{2^n}}}$\\
  6. $u_n=\exp\!\parenthese{\sin(2^{-n})}-1$\\
Exercice 1031. Déterminer un équivalent de la suite $u_n$ de terme général : \\
  1. $u_n=\parenthese{\Frac{\cos(\alpha+\Frac{\beta}{n})}{\cos(\alpha)}}^n$\\
  2. $u_n=n(\sqrt[3]{5}-1)$\\