Calcul d'équivalents

Exercice 1282. Trouver un équivalent simple aux suites $(u_n)$ suivantes et donner leur limite : \\

1. $u_n = (n+3\ln{n})e^{-(n+1)}$. \\
2. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n+1}$. \\
3. $u_n = \Frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{n^2-n+1}}$.

Exercice 1283. Donner un équivalent simple des suites suivantes : \\

1. $u_n = (\sqrt{n}-[\ln{n}]^{7/2}+\sin(n))$. \\
2. $u_n = \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$. \\
3. $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
4. $u_n = \parenthese{\Frac{(1-\cos{\frac{1}{n}})\cos{\frac{1}{n}}}{e^{\frac{1}{n^3}-1}}}$.

Exercice 1284. Calculer les limites suivantes : \\

1. $\limn \Frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$. \\
2. $\limn n(n+1)^3-\parenthese{\Frac{e+\pi}{5}}^n + \sin(n!)\arctan(n)$. \\
3. $\limn \Frac{2^n+n}{2^n}$. \\
4. $\limn \Frac{(2n)!}{n!n^n}$. \\
5. $\limn \parenthese{1+\Frac{x}{n}}^{n}$ avec $x \in \R$.

Exercice 1285. Déterminer un équivalent simple de chacune des suites : \\

1. $u_n = \Frac{n^2+e^{-2n}+\sqrt{n^5}}{\ln(2n)+2n-3}$ \\
2. $u_n = (n+3\ln(n))e^{-(n+1)}$ \\
3. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n^2+1}$ \\
4. $u_n = \ln\parenthese{\Frac{n^2+1}{n^2+2}}$ \\
5. $u_n = \sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}$\\
6. $u_n = \Sum_{k=0}^{n} k!$ \\
7. $u_n = \Frac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt{n}}}$.

Exercice 1286. Déterminer un équivalent, puis la limite de la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ définie par \[ x_n = \sin\!\left(\Frac{\pi}{n}\right) + \sin\!\left(\Frac{2\pi}{n}\right) + \dots + \sin\!\left(\Frac{(n-1)\pi}{n}\right). \]