Exercices divers

Exercice 1439. Wallis

\\ Pour tout $n \in \N$, on pose $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n(t)}{t}$. \\
  1. Calculer $W_0$ et $W_1$. \\
  2. Montrer que $(W_n)$ est décroissante à valeurs $\geqslant 0$. \\
  3. Pour $n \geqslant 1$, exprimer $W_{n+1}$ en fonction de $W_{n-1}$. \\ En déduire que $(nW_nW_{n-1})_{n \geqslant 1}$ est constante. \\
  4. Montrer que $\Frac{n}{n+1} \ps{2} \leqslant nW_n^2 \leqslant \ps{2}$ et en déduire un équivalent simple de $(W_n)$.
Exercice 1440. Montrer que, au voisinage de $+\infty$,\\ \[ u_n=\integrale{n^2}{n^3}{\Frac{1}{1+t^2}}{t}\sim \Frac{1}{n^2}. \]
Exercice 1441. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\tan^n x}{x}$.\\
  1. Calculer $I_n+I_{n+2}$ et en déduire $\limn I_n$.\\
    1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\cos 2x\,\tan^n x}{x}=\Frac{1}{2}-nI_n$.\\
    2. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.

Exercice 1442. Série Harmonique

\\ Pour tout $n \in \N^*$, on pose $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$. \\
  1. Etudier la monotonie de $(H_n)$ puis montrer que pour tout $n \in \N^*$, $H_{2n}-H_n \geqslant \Frac{1}{2}$. En déduire que $H_n \to +\infty$.\\
  2. Montrer que $(H_n-\ln{n})_{n \in \N^*}$ et $(H_n-\ln(n+1))_{n \in \N^*}$ sont adjacentes. \\
  3. Montrer que $S_n \to S_{\infty}$ et déterminer la valeur de $S_{\infty}$. \\
  4. Montrer que $H_n \sim \ln(n)$.

Exercice 1443. Oral Mines-Pont

\\ Trouver un équivalent de $\Sum_{k=1}^{n} k!$.
Exercice 1444. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sin(u_n)$. \\
  1. Montrer que $u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$. \\
  2. Déterminer $\alpha \in \mathbb{Z}$ tel que $u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell \in \mathbb{R}_+^*$. \\
  3. Donner un équivalent de $u_n$.
Exercice 1445. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\\ \[ P_n = X^3-(n+2)X^2+(2n+1)X-1 \in \mathbb{R}[X]. \]
  1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ assez grand, $P_n$ admet trois zéros, notés $a_n,b_n,c_n$, tels que : $0 < a_n < 1 < b_n < 3 < \Frac{2n+1}{3} < c_n$.\\
  2. Montrer successivement : $c_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$, $a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$, $c_n \sim n$, $b_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2$,$a_n \sim \Frac{1}{2n}$.
Exercice 1446. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $I_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{2n}}{1+x^n}}{x}$.\\
  1. Trouver $\limn I_n$.\\
  2. On considère, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $J_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{2n-1}}{1+x^n}}{x}$.\\
    1. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $|I_n-J_n| \leqslant \Frac{1}{2n(n+1)}$.\\
    2. Calculer $J_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.\\
    3. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.

Exercice 1447. Oral X

\\ Soit $x_0 \in ]0,1[$. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ définie par \[ \forall n \in \N, \;\; x_{n+1} = \sqrt{\Frac{1+x_n}{2}} \] converge et déterminer un équivalent de $1-x_n$.

Exercice 1448. Oral Mines-Pont

\\ Soit $n \in \N^*$. On pose $x_n = \min\{x > 0, \;\; \cos(nx) = e^{-x} \}$. \\
  1. Montrer que $x_n$ existe. \\
  2. Déterminer la limite de $x_n$. \\
  3. Déterminer un équivalent de $x_n$.

Exercice 1449. Oral X PC

\\ Déterminer un équivalent de $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{2^k}{k}$.

Exercice 1450. Oral X PC

\\ On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n=\Sum_{k=1}^{n} \Frac{\ln k}{k}$. \\
  1. Montrer que $u_n \sim \Frac{\ln^2 n}{2} \quad (n \to +\infty)$. \\
  2. Montrer que la suite $v_n = u_n - \Frac{\ln^2 n}{2}$ est convergente.
Exercice 1451. On considère la suite $(u_n)_{n \geqslant 0}$ définie par \\ \[ u_0 \in \mathbb{R} \quad et \quad u_{n+1} = u_n + e^{-u_n} \quad pour \;\; tout \;\; n \in \mathbb{N}. \] En posant $v_n = e^{u_n}$, donner un développement asymptotique à deux termes de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 1452. X ENS

\\ Soit $u_0 \in [0,\frac{\pi}{2}]$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \sin(u_n)$. \\ Donner un équivalent simple de $u_n$.

Exercice 1453. X ENS

\\ On pose pour tout $n \in \N$, $u_n = \parenthese{\Prod_{k=1}^{n}k^k}^{\frac{1}{n}}$. \\ Donner un équivalent de $(u_n)_{n \geqslant 1}$.
Exercice 1454. \\ On pose $u_n = \Frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}$ et $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n(t)}{t}$. \\
    1. Déterminer un équivalent de la suite $\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{u_n}{u_{n-1}}}}_{ n\geqslant 2}$. \\
    2. En admettant que $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^2}}$ converge, montrer que $(u_n)_{n \geqslant 1}$ converge vers une limite $\ell > 0$. \\ On pourra par exemple minorer la suite $(\ln(u_n))_{n \geqslant 2}$ par une suite convergente. \\
  2. Exprimer pour tout $n \in \N$, $W_{2n}$ en fonction de $\displaystyle \binom{2n}{n}$. \\
  3. Montrer la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n} \parenthese{\Frac{n}{e}}^n$.