Exercices divers

Exercice 1298. Oral Mines-Pont

\\ Trouver un équivalent de $\Sum_{k=1}^{n} k!$.
Exercice 1299. Pour $n \geqslant 2$, on considère le polynôme $P_n(X) = X^n - nX + 1$. \\
  1. Montrer que $P_n$ admet une unique racine réelle entre $0$ et $1$, notée $x_n$, et déterminer $\limnf x_n$ ainsi qu’un équivalent de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$. \\
  2. On pose $\varepsilon_n = n x_n - 1$. Montrer que $\varepsilon_n = \Frac{(1+\varepsilon_n)^n}{n^n}$ et que $\Frac{(1+\varepsilon_n)^n}{n^n} \to 1$ lorsque $n \to +\infty$. \\
  3. En déduire un développement asymptotique à deux termes de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.
Exercice 1300. On considère l’équation $\tan(x) = x$ d’inconnue $x \in \mathbb{R}$.\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $I_n = \; ]-\Frac{\pi}{2}+n\pi,\;\Frac{\pi}{2}+n\pi[ $.\\
  1. Soit $n \in \mathbb{N}$.\\ Montrer que cette équation admet une unique solution $x_n$ dans $I_n$.\\
  2. Donner un équivalent de la suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$.\\
  3. Donner un développement asymptotique à trois termes de $x_n$ lorsque $n \to +\infty$.
Exercice 1301. On considère, pour tout $n \geqslant 1$, l’équation \[ x^n + x - 1 = 0 \] d’inconnue $x \in [0,1]$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, cette équation admet une unique solution $v_n$ sur $[0,1]$, et déterminer $\limnf v_n$.\\
  2. On note $w_n = 1 - v_n$. Montrer que, pour $n$ assez grand, \[ \Frac{\ln(n)}{2n} \leqslant w_n \leqslant \Frac{2 \ln(n)}{n}. \]
  3. Donner un développement asymptotique de $v_n$ lorsque $n \to +\infty$.

Exercice 1302. Oral X

\\ Soit $x_0 \in ]0,1[$. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ définie par \[ \forall n \in \N, \;\; x_{n+1} = \sqrt{\Frac{1+x_n}{2}} \] converge et déterminer un équivalent de $1-x_n$.

Exercice 1303. Oral Mines-Pont

\\ Soit $n \in \N^*$. On pose $x_n = \min\{x > 0, \;\; \cos(nx) = e^{-x} \}$. \\
  1. Montrer que $x_n$ existe. \\
  2. Déterminer la limite de $x_n$. \\
  3. Déterminer un équivalent de $x_n$.

Exercice 1304. Oral X

\\ Déterminer un équivalent de $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{2^k}{k}$.

Exercice 1305. Oral Mines-Pont

\\ Pour $n \in \N$, on pose l'équation \[ (E_n) \; : \; xe^{nx} = 1 \]
  1. Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution réelle notée $x_n$. \\
  2. Montrer que $(x_n)$ a une limite $\ell$ que l'on déterminera. \\
  3. Déterminer un équivalent de $x_n$.

Exercice 1306. Oral X

\\ On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n=\Sum_{k=1}^{n} \Frac{\ln k}{k}$. \\
  1. Montrer que $u_n \sim \Frac{\ln^2 n}{2} \quad (n \to +\infty)$. \\
  2. Montrer que la suite $v_n = u_n - \Frac{\ln^2 n}{2}$ est convergente.
Exercice 1307. On considère la suite $(u_n)_{n \geqslant 0}$ définie par \\ \[ u_0 \in \mathbb{R} \quad et \quad u_{n+1} = u_n + e^{-u_n} \quad pour \;\; tout \;\; n \in \mathbb{N}. \] En posant $v_n = e^{u_n}$, donner un développement asymptotique à deux termes de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$.