Exercices divers

Exercice 1916. X PC

\\ Déterminer un équivalent de $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{2^k}{k}$.

Exercice 1917. X PC

\\ On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n=\Sum_{k=1}^{n} \Frac{\ln k}{k}$. \\
  1. Montrer que $u_n \sim \Frac{\ln^2 n}{2} \quad (n \to +\infty)$. \\
  2. Montrer que la suite $v_n = u_n - \Frac{\ln^2 n}{2}$ est convergente.

Exercice 1918. X ENS

\\ On pose pour tout $n \in \N$, $u_n = \parenthese{\Prod_{k=1}^{n}k^k}^{\frac{1}{n}}$. \\ Donner un équivalent de $(u_n)_{n \geqslant 1}$.

Exercice 1919. Mines-Pont

\\ Trouver un équivalent de $\Sum_{k=1}^{n} k!$.
Exercice 1920. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\\ \[ P_n = X^3-(n+2)X^2+(2n+1)X-1 \in \mathbb{R}[X]. \]
  1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ assez grand, $P_n$ admet trois zéros, notés $a_n,b_n,c_n$, tels que : $0 < a_n < 1 < b_n < 3 < \Frac{2n+1}{3} < c_n$.\\
  2. Montrer successivement : $c_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$, $a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$, $c_n \sim n$, $b_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2$,$a_n \sim \Frac{1}{2n}$.
Exercice 1921. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $I_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{2n}}{1+x^n}}{x}$.\\
  1. Trouver $\limn I_n$.\\
  2. On considère, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $J_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{2n-1}}{1+x^n}}{x}$.\\
    1. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $|I_n-J_n| \leqslant \Frac{1}{2n(n+1)}$.\\
    2. Calculer $J_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.\\
    3. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.
Exercice 1922. \\ On pose $u_n = \Frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}$ et $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n(t)}{t}$. \\
    1. Déterminer un équivalent de la suite $\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{u_n}{u_{n-1}}}}_{ n\geqslant 2}$. \\
    2. En admettant que $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^2}}$ converge, montrer que $(u_n)_{n \geqslant 1}$ converge vers une limite $\ell > 0$. \\ On pourra par exemple minorer la suite $(\ln(u_n))_{n \geqslant 2}$ par une suite convergente. \\
  2. Exprimer pour tout $n \in \N$, $W_{2n}$ en fonction de $\displaystyle \binom{2n}{n}$. \\
  3. Montrer la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n} \parenthese{\Frac{n}{e}}^n$.
Exercice 1923. Pour tout $n \in \N^*$, on pose $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$. \\
  1. Etudier la monotonie de $(H_n)$ puis montrer que pour tout $n \in \N^*$, $H_{2n}-H_n \geqslant \Frac{1}{2}$. En déduire que $H_n \to +\infty$.\\
  2. Montrer que $(H_n-\ln{n})_{n \in \N^*}$ et $(H_n-\ln(n+1))_{n \in \N^*}$ sont adjacentes. \\
  3. Montrer que $S_n \to S_{\infty}$ et déterminer la valeur de $S_{\infty}$. \\
  4. Montrer que $H_n \sim \ln(n)$.

Exercice 1924. Wallis

\\ Pour tout $n \in \N$, on pose $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n(t)}{t}$. \\
  1. Calculer $W_0$ et $W_1$. \\
  2. Montrer que $(W_n)$ est décroissante à valeurs $\geqslant 0$. \\
  3. Pour $n \geqslant 1$, exprimer $W_{n+1}$ en fonction de $W_{n-1}$. \\ En déduire que $(nW_nW_{n-1})_{n \geqslant 1}$ est constante. \\
  4. Montrer que $\Frac{n}{n+1} \ps{2} \leqslant nW_n^2 \leqslant \ps{2}$ et en déduire un équivalent simple de $(W_n)$.
Exercice 1925. \\
  1. On définit $f:x\in \mathbb{R}_+\mapsto xe^{x^2}\in \mathbb{R}_+$. Justifier que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$. \\
  2. Donner le développement limité à l’ordre $1$ de $f^{-1}$ en $e$. \\
  3. Donner un équivalent simple de $f^{-1}(y)$ lorsque $y\to +\infty$. \\
  4. Même question lorsque $y\to 0$.
Exercice 1926. Déterminer le développement asymptotique à trois termes significatifs de la suite $(u_n)$ définie par : $u_n$ est la seule solution à l'équation \[ e^x+1+nx=0. \]
Exercice 1927. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\tan^n x}{x}$.\\
  1. Calculer $I_n+I_{n+2}$ et en déduire $\limn I_n$.\\
    1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\cos 2x\,\tan^n x}{x}=\Frac{1}{2}-nI_n$.\\
    2. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.
Exercice 1928. On considère pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ l’équation \[ e^x+x=n. \] Montrer qu’il existe une unique solution $x_n$ réelle positive.\\ Étudiez la suite ainsi définie. Trouvez un équivalent en $+\infty$ puis un développement asymptotique.
Exercice 1929. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$ et à valeurs strictement positives.\\
    1. On suppose que $f\sim_a g$ et $\lim_{x\to a}g(x)=+\infty$. \\Justifier que $\ln(f(x))\sim_a \ln(g(x))$. \\
    2. En déduire un équivalent en $+\infty$ de $\ln(8x^7+3x^3+2x-1)$. \\
    1. Vérifier que la conclusion de la question précédente reste valable si on suppose seulement $f\sim_a g$ et $\lim_{x\to a}g(x)=\ell$ avec $\ell\in \mathbb{R}_+\setminus\{1\}$. \\
    2. Que dire si $\ell=1$ ?
Exercice 1930. Soient $f$, $g$, $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I$, tel que $h$ ne s’annule pas au voisinage de $a\in I$.\\ Montrer l’implication :\\ \[ f\leqslant g\leqslant h \qquad \text{et} \qquad f(x)\sim_{x\to a}h(x) \quad \Longrightarrow \quad g(x)\sim_{x\to a}f(x). \]
Exercice 1931. On pose \[ u_n=\Sum_{k=1}^n \dfrac{\ln k}{k}. \]
  1. Prouver que \[ u_n\sim \dfrac{\ln^2 n}{2}. \]
  2. Prouver que la suite \[ \left(u_n-\dfrac{\ln^2 n}{2}\right) \] converge.
Exercice 1932. Montrer que \[ \Sum_{k=1}^n k! \sim n! \quad \text{lorsque } n\to+\infty \]
Exercice 1933. On désigne par $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers $\leqslant n$ et par $p_n$ le $n$-ième nombre premier ($p_1=2,p_2=3,p_3=5,\dots$).\\ En particulier, remarquer que $p_{\pi(n)}\leqslant n < p_{\pi(n)+1}$ et que $\pi(p_n)=n$.\\ Montrer que les deux énoncés suivants du "théorème des nombres premiers" ($1896$) sont équivalents :\\ \[ \pi(n)\sim\Frac{n}{\ln n}\Longleftrightarrow p_n\sim n\ln n. \]
Exercice 1934. On pose $H_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$ (série harmonique) et $A_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{(-1)^{k+1}}{k}$ (série harmonique alternée).\\
  1. Montrer que $H_n\sim\ln n$ puis que $H_n\to +\infty$.\\
  2. Montrer que les suites $(A_{2n})$ et $(A_{2n+1})$ sont adjacentes.\\ En déduire que la suite $(A_n)$ converge. On pose $l=\lim A_n$, montrer que $\Frac{1}{2} < l < 1$.\\
    1. On pose $u_n=H_n-\ln n$ et $v_n=H_{n-1}-\ln n$. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.\\ On pose $\gamma=\lim u_n$ (constante d’Euler).\\
    2. Montrer que $H_n=\ln n+\gamma+o(1)$ quand $n\to +\infty$.\\
    3. Montrer que $H_{2n}-A_{2n}=H_n$. En déduire que $l=\ln 2$.

Exercice 1935. Mines-Pont

\\ Soit $n \in \N^*$. On pose $x_n = \min\{x > 0, \;\; \cos(nx) = e^{-x} \}$. \\
  1. Montrer que $x_n$ existe. \\ On posera $\varphi_n(x) = \cos(nx)-e^{-x}$. \\
  2. Déterminer la limite de $x_n$. \\
  3. Déterminer un équivalent de $x_n$.
Exercice 1936. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n:x \in [0,n] \mapsto \displaystyle\prod_{i=0}^{n}(x-i) \in \mathbb{R}$. Trouver un équivalent simple de $\sup\limits_{x \in [0,n]}|f_n(x)|$ lorsque $n \to +\infty$.\\ Pour cela :\\
  1. Justifier que pour tout $i \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$, $f_n$ atteint un maximum sur $]i,i+1[$.\\
  2. On pose pour certains $x$ de $[0,n]$ à déterminer, $g_n(x)=\dfrac{f_n'(x)}{f_n(x)}$. Réduire l’expression de $g_n(x)$.\\
  3. Montrer que $|f_n|$ admet son maximum sur $[i,i+1]$ en une unique valeur qui annule $g_n$.\\
  4. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, $x(1-x)\in \ldots$\\
  5. Pour tout $i \in \llbracket 0,n/2 \llbracket$, majorer $|f_n(x)|$ sur $[i,i+1]$ par une expression indépendante de $x$ que l’on notera $(u_i)$ : on attend que la suite $(u_i)$ soit décroissante et on montrera que pour tout $i \in \llbracket 1,n/2 \llbracket$, $u_i \leqslant \dfrac{(n-1)!}{2}$.\\
  6. Montrer que pour tout $x \in [1,n-1]$, $|f_n(x)| \leqslant \dfrac{(n-1)!}{2}$.\\
  7. Étudions sur $[0,1]$ : notons $a_n$ le maximum de $|f_n|$ sur cet intervalle. Donner un équivalent de $a_n$, puis de $|f_n(a_n)|$.\\
  8. Conclure.
Exercice 1937. Partie $1$ : Intégrales de Wallis\\ Soit $n \in \N$. On pose $I_n=\integrale{0}{\pi/2}{\sin^n(x)}{x}$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $I_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}I_{n-1}$.\\
  2. En déduire une expression explicite de $I_{2p}$ et de $I_{2p+1}$ à l’aide de factorielles.\\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $1 \geqslant \dfrac{I_{n+1}}{I_n} \geqslant \dfrac{n}{n+1}$.\\
  4. En déduire la formule de Wallis :\\ \[ \limn \sqrt{p}\dfrac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \]
Partie $2$ : Formule de Stirling\\ Soit $n \in \N^*$, on pose $S_n=\ln\parenthese{\dfrac{n!e^n}{n^n\sqrt{n}}}$.\\
  1. Montrer qu’il existe un réel $\alpha \neq 0$ qu’on déterminera tel que $S_n-S_{n-1}\sim \dfrac{\alpha}{n^2}$.\\
  2. Justifier pour tout $n \in \N^*$, par une comparaison avec une intégrale,\\ \[ \Sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}\leqslant 2-\dfrac{1}{n} \]
  3. En déduire que la suite $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}}$ est convergente.\\
  4. Justifier que pour $n$ assez grand, $0 \leqslant S_{n-1}-S_n \leqslant \dfrac{\beta}{n^2}$ avec $\beta \in \R_+$ à déterminer.\\
  5. Montrer que la suite $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}(S_{k-1}-S_k)}$ est convergente. En déduire que $(S_n)$ est convergente.\\
  6. Soit $n \in \N^*$ et $\sigma_n=\dfrac{n!e^n}{n^n\sqrt{n}}$. En considérant $\dfrac{\sigma_n^2}{\sigma_{2n}}$, déterminer la valeur de $S$.\\
  7. En déduire la formule de Stirling du cours.
Exercice 1938. Soit $\lambda > 0$ fixé. Simplifier au maximum les expressions suivantes en restant le plus précis possible. Tous les $o$ et $O$ sont pris quand $n \to +\infty$.\\
  1. $o(1)+o(1)$\\
  2. $O(1)+O(1)$\\
  3. $o(1)+O(1)$\\
  4. $o(1)\times o(1)$\\
  5. $O(1)\times O(1)$\\
  6. $o(1)\times O(1)$\\
  7. $-o(1)$\\
  8. $o(1)-o(1)$\\
  9. $5o(1)$\\
  10. $-\lambda O(1)$\\
  11. $-28+O(1)$\\
  12. $\lambda o(1)-\lambda^2O(1)$\\
  13. $\sqrt{\lambda+o(1)}$\\
  14. $\ln(1+o(1))$\\
  15. $\dfrac{1}{1+o(1)}$\\
  16. e^{o(1)}\\
  17. o(1)^5
Exercice 1939. Simplifier au maximum les expressions suivantes. Tous les $o$ et $O$ sont pris en $n \to +\infty$.\\
  1. $n^2O(n^3)$\\
  2. $\dfrac{1}{n^2}o(n)$\\
  3. $o(n^2)\times o\parenthese{\dfrac{1}{n^3}}$\\
  4. $o(e^{-n})\times O(n)$\\
  5. $O(\ln(n))\times O\parenthese{\dfrac{1}{n^3}}$\\
  6. $2o(\sqrt{n})+o(\sqrt{n})$\\
  7. $O\parenthese{\dfrac{1}{n}}-O\parenthese{\dfrac{1}{n}}$\\
  8. $o(e^{-n})-2O(e^{-n})$\\
  9. $\dfrac{1}{n}\parenthese{o(\ln(n))-o(\ln(n))}$\\
  10. $o(n+\ln(n))$\\
  11. $o(n+5+\sin(n))$\\
  12. $o\parenthese{\dfrac{1}{n+5}+\dfrac{1}{n^2}}$\\
  13. $\dfrac{1}{n^3}+o\parenthese{\dfrac{1}{n}}$
Exercice 1940. Nettoyer les expressions suivantes :\\
  1. \[ \dfrac{1}{x^2}+o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+3+\dfrac{1}{x}+o\left(\dfrac{1}{x}\right) \quad \mathrm{quand } x \to 0 \]
  2. \[ x+o(x)+x\ln(x)+o(x^2\ln(x))+x^2+o(x^2) \quad \mathrm{quand } x \to 0 \]
  3. \[ \dfrac{1}{n}+\dfrac{\ln(n)}{n}+o\left(\dfrac{\ln(n)}{n}\right)+\dfrac{1}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)+\dfrac{1}{n\ln(n)}+o\left(\dfrac{1}{n\ln(n)}\right) \quad \mathrm{quand } n \to +\infty \]
Exercice 1941. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.\\
  1. Montrer que \[ e^{u_n} \sim e^{v_n} \iff u_n-v_n=o(1). \]
  2. On suppose que $u_n > 0$ à partir d’un certain rang. Montrer que si $u_n \sim v_n$ et $u_n \to +\infty$ alors $\ln(u_n)\sim \ln(v_n)$.\\ Montrer que si $u_n\ln(u_n)\sim n$ alors \[ u_n \sim \dfrac{n}{\ln(n)}. \]
  3. Montrer que si $u_n=o(\sqrt{n})$ alors \[ \left(1+\dfrac{u_n}{n}\right)^n \sim e^{u_n}. \]
Exercice 1942. À l’aide d’un encadrement par des intégrales, donner un équivalent simple quand $n \to +\infty$ de\\ \[ \Sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k\ln(k)} \quad \text{et} \quad \Sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k+\sqrt{k}}. \]
Exercice 1943. On pose pour tout $n \in \N$,\\ \[ u_n=\integrale{0}{1}{\dfrac{1}{1+t^n}}{t}. \]
  1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.\\
  2. Montrer que \[ u_n=1-\dfrac{\ln(2)}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right). \]
Exercice 1944. Le but du problème est d’étudier une fonction et une suite définies implicitement.\\ On cherche à défaut de les connaitre d’en donner des développements limités ou asymptotiques.\\ Partie I : Étude d’une fonction et d’une de ses réciproques.\\
  1. Effectuer l’étude complète de $f(x)=x-\ln(x)$ sur son domaine de définition. Tracer une allure de sa courbe représentative avec tous les éléments à disposition.\\
  2. Calculer un développement limité à l’ordre $4$ de $f$ au voisinage de $1$ sous la forme \[ f(x)=\sum_{k=0}^{4} a_k(x-1)^k+o((x-1)^4). \]
  3. Montrer que $f$ admet deux bijections réciproques $g$ et $h$, toutes les deux définies sur $[1,+\infty[$ et à valeurs dans $]0,1]$ et $[1,+\infty[$ respectivement.\\
  4. Déterminer sur quel(s) intervalle(s) $h$ et $g$ sont dérivables. On admet en outre qu’elles y sont $C^{\infty}$.\\
  5. Justifier que $g$ admet un développement limité à tout ordre au voisinage de $2$ de la forme \[ g(x)=\sum_{k=0}^{n} b_k(x-2)^k+o((x-2)^n). \]
  6. Que vaut $b_0$ en fonction de $g$ ? On ne cherchera pas sa valeur exacte.\\
  7. On écrit $g(x)=b_0+b_1(x-2)+o(x-2)$. En utilisant $f(g(x))=x$, montrer que l’on peut exprimer $b_1$ en fonction de $b_0$.\\
  8. Retrouver la valeur de $b_1$ en utilisant la dérivée de $g$.\\
  9. De la même façon, exprimer $b_2$ en fonction de $b_0$.
Partie II : Étude d’une suite définie implicitement.\\
  1. Justifier l’existence et l’unicité pour tout $n\in\N^*$ de la solution à l’équation $f(x)=n$ dans $[1,+\infty[$. On notera $x_n$ cette solution par la suite.\\
  2. Montrer que $(x_n)$ est croissante et que $\limn x_n=+\infty$.\\
  3. On cherche à obtenir dans cette question un développement asymptotique de $x_n$.\\ On écrit alors $x_n=(1+\varepsilon_n)n$ avec $\limn \varepsilon_n=0$.\\
    1. En utilisant l’équation $f(x_n)=n$, montrer que $x_n\sim n$.\\
    2. En introduisant l’expression précédente dans $f(x_n)=n$, montrer que $\varepsilon_n\sim \dfrac{\ln(n)}{n}$. On utilisera un développement limité de $\ln(1+x)$.\\ On écrit alors $x_n=n+\ln(n)+\alpha_n\ln(n)$ avec $\limn \alpha_n=0$.\\
    3. Montrer alors que \[ x_n=n+\ln(n)+u\Frac{\ln(n)}{n}+o\parenthese{\Frac{\ln(n)}{n}} \] avec $u$ que l’on déterminera.\\
    4. Application numérique : donner une valeur approchée, en explicitant la précision, de la solution dans $]1,+\infty[$ de l’équation $f(x)=1000$.
Exercice 1945. Montrer que \[ \integrale{n^2}{n^3}{\Frac{1}{1+t^2}}{t}\sim \Frac{1}{n^2}. \]
Exercice 1946. Pour tout entier $n\geqslant 2$, on considère le polynôme \[ P_n=X^{2n}-2nX+1 \] et on note $a_n$ la plus grande racine réelle de $P_n$.\\
    1. Étudier les variations de $x\mapsto P_n(x)$ sur $\R$. En déduire que, pour tout $n\geqslant 2$, $a_n > 1$.\\
    2. Montrer que $P_n(2)\sim 4^n$. En déduire qu’à partir d’un certain rang, on a : $a_n < 2$.
  2. On pose, pour tout $n\geqslant 2$, \[ \varepsilon_n=a_n-1. \]
    1. Montrer qu’il existe $(\eta_n)_{n\geqslant 2}$ convergeant vers $0$ telle que : \[ \ln(1+\varepsilon_n)=\dfrac{\ln(n)}{2n}+\dfrac{\ln(1+\varepsilon_n)}{2n}+\dfrac{\ln 2+\eta_n}{2n}. \]
    2. Montrer que : \[ \dfrac{\ln 2+\eta_n}{2n}=o\left(\dfrac{\ln n}{2n}\right) \qquad \mathrm{et} \qquad \dfrac{\ln(1+\varepsilon_n)}{2n}=o\left(\dfrac{\ln n}{2n}\right). \] En déduire un équivalent simple de $\ln(1+\varepsilon_n)$.\\
    3. Montrer que $\ln(1+\varepsilon_n)\sim \varepsilon_n$ et en déduire que : \[ a_n=1+\dfrac{\ln n}{2n}+o\left(\dfrac{\ln n}{n}\right). \]