Exercices divers

Exercice 1038. Oral HEC

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  1. Etudier la limite éventuelle de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in ]0,1[$ et $u_{n+1} = 1+\Frac{u_n}{n+1}$. \\
  2. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que pour $n$ voisin de $+\infty$, $u_n = 1 + \Frac{a}{n} + \Frac{b}{n^2} + o\parenthese{\Frac{1}{n^2}}$.
Exercice 1039. Déterminer la limite de la suite \[ u_n=\Frac{1}{n\sqrt{n}}\Sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}. \] \\ Puis donner un équivalent de $\Sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}$ en $+\infty$.\\
Exercice 1040. Montrer que si $P \in \R[x]$ est non nul alors $P(n)\sim an^p$ avec $a$ égal au coefficient dominant de $P$ et $p=\deg(P)$.
Exercice 1041. Calculer la limite de la suite définie pour les entiers $n \geqslant 3$ par \[ u_n=\parenthese{1-\Frac{2}{n}}^{3n} \]
Exercice 1042. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite telle que pour tout $n \in \N$, $u_n>0$ et $\ln\!\parenthese{\Frac{2}{u_n}} \sim \Frac{1}{n^2}$.\\ Montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ converge vers une limite $\ell$ (à déterminer) et donner un équivalent de $(u_n-\ell)$.
Exercice 1043. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite décroissante de réels telle que \[ u_n + u_{n+1} \sim \Frac{1}{n}. \] \\
  1. Montrer que $(u_n)$ converge vers $0^+$.\\
  2. Donner un équivalent simple de $(u_n)$.
Exercice 1044. Pour tout $n \geqslant 2$, on pose : \[ u_n=\Frac{\ln(n!)}{\ln(n^n)}. \] \\
    1. Montrer que pour tout $k \geqslant 2$ : \[ \integrale{k-1}{k}{\ln(t)}{t} \leqslant \ln(k) \leqslant \integrale{k}{k+1}{\ln(t)}{t}. \] \\
    2. En déduire un encadrement de $\ln(n!)$, puis de $u_n$ pour $n \geqslant 2$.\\
  2. Qu’en déduire pour les suites $(\ln(n!))_{n \geqslant 2}$ et $(\ln(n^n))_{n \geqslant 2}$ ?
Exercice 1045. Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$, $(t_n)$ des suites de réels strictement positifs telles que \[ u_n \sim v_n \quad et \quad w_n \sim t_n. \] Montrer que $u_n+w_n \sim v_n+t_n$.
Exercice 1046. Montrer que, au voisinage de $+\infty$, \[ u_n=\integrale{n^2}{n^3}{\dfrac{dt}{1+t^2}}{} \sim \dfrac{1}{n^2}. \]