Exercices divers

Exercice 1091. Oral HEC

\\ Etudier la convergence de l'intégrale $I_n = \integrale{0}{1}{(\ln{x})^n}{x}$ pour $n \in \N$. \\ Calculer $I_n$.
Exercice 1092. On pose pour tout $n \in \N$, $I_n = \Frac{1}{n!} \integrale{0}{1}{(1-t)^{n}e^{t}}{t}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $0 \leqslant I_n \leqslant \Frac{e}{n!}$ puis en déduire $\limn I_n$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_{n+1} = I_n - \Frac{1}{(n+1)!}$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_n = e-\Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{k!}$. En déduire $\limn \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!}$.
Exercice 1093. our tout entier naturel $n$, on définit l’intégrale : \[ I_n=\integrale{1}{e}{x^2(\ln(x))^n}{x}. \] \\
  1. Calculer $I_1$.\\
    1. Étudier le sens de variation de la suite $(I_n)_{n \in \N}$.\\
    2. Montrer que la suite $(I_n)_{n \in \N}$ est convergente.\\
    3. Montrer que : $\forall x \in [1,e], \ln(x) \leqslant \Frac{x}{e}$.\\
    4. En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.\\
    1. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $\forall n \in \N$, $I_{n+1}=\Frac{e^3}{3}-\Frac{n+1}{3}I_n$. \\
    2. En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n I_n$.\\