Calcul d'intégrales
Exercice
1558. Calculer $\displaystyle \int \Frac{\sqrt{1+\sqrt{1-t^{2}}}}{\sqrt{1-t^{2}}}\;dt.$
Exercice
1559. \\
- En posant $u=\pi - t$, calculer $I=\integrale{0}{\pi}{\Frac{t\sin t}{1+\cos^{2}t}}{t}$. \\
- En posant $u=\Frac{\pi}{2}-t$, calculer $J=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\parenthese{\integrale{0}{x}{\Frac{dt}{1+\tan^{2018}t}}{t}}$. \\
- En posant $u=\sqrt{t^{2}+t+1}-t$, calculer $K=\integrale{0}{1}{\Frac{1}{\sqrt{t^{2}+t+1}}}{t}.$
Exercice
1560. On pose \\
\[
I=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}}}{x}
\quad\text{et}\quad
J=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{\sin x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}}}{x}.
\] \\
Montrer que $I=J$ puis calculer $I$.