Lois de probabilités

Exercice 923. ESCP 2024

\\ Soit un entier $n \geqslant 2$. Soit $n$ variables aléatoires $X_1, \hdots, X_n$ à valeurs dans $\llbracket 0,n \rrbracket$ et vérifiant pour tout $(i,j) \in \llbracket 0,n\rrbracket^2$ avec $i \neq j$, \[ \forall (k,m) \in \llbracket 0,n \rrbracket^2, \;\; P([X_i=k]\cap[X_j=m]) = \begin{cases} 0 \quad si\; m=k \\ \Frac{1}{n(n+1)} \quad si \; m \neq k \end{cases} \] On pose $Z_n = \min(X_1,\hdots,X_n)$. \\

1. Déterminer les valeurs prises par $Z_n$. \\
2. Déterminer la loi de $Z_n$.

Exercice 924. ESCP 2024

\\ Soit $X,Y$ et $Z$ trois variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes les trois la loi uniforme discrète sur $\llbracket 1,n \rrbracket$, avec $n \geqslant 2$. \\

1. On pose $T = n+1-Z$. \\
   1. Déterminer la loi de $T$. \\
   2. Les variables $X$, $Y$ et $T$ sont-elles mutuellement indépendantes ? Justifier. \\
2. 1. Calculer les probabilités $P(X+Y=2)$ et $P(X+Y=2n)$. \\
   2. Pour $k \in \llbracket 2,2n\rrbracket$. Calculer $P(X+Y=k)$. \\
3. 1. Déterminer $P(X+Y=Z)$. \\
   2. Calculer $P(X+Y+Z=n+1)$ et $P(X+Y+Z=2n+2)$.