Exercices divers

Exercice 1173.
  1. Montrer que la famille $((1,1,0),(1,2,1),(2,3,2))$ est une base de $\R^3$. \\
  2. Déterminer les coordonnées du vecteur $(0,1,-2)$ dans cette base.
Exercice 1174. Montrer que la famille $\parenthese{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} }$ est une base de $\mathcal{M}_{4,1}(\R)$. \\
  • Déterminer les coordonnées du vecteur $ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ dans cette base.
    • Exercice 1175. Montrer que la famille $(x^2+1,x^2+x-1,x^2+x)$ est une base de $\R_{2}[x]$.
    Exercice 1176. Pour $0 \leqslant k \leqslant n$ on pose $f_k : \R \to \R$ la fonction définie par $f_k(x) = e^{kx}$. \\ Montrer que la famille $(f_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ est libre dans $\mathcal{F}(\R,\R)$.
    Exercice 1177. Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix}$ et l'ensemble \[ F = \{ X \in \mathcal{M}_{3,1}(\R), \;\; MX = 2X \} \]
    1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel. \\
    2. Donner une famille génératrice de $F$. Cette famille génératrice est-elle une base de $F$ ?
    Exercice 1178. On pose $F = \{ P \in \R_2[x], \;\; P(2-x)=P(x) \}$. \\
    1. Montrer que $F$ est un espace vectoriel. \\
    2. Déterminer une famille de deux vecteurs génératrice de $F$. \\
    3. Est-elle libre ?